Номер 1013, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1013. Вершины $A$, $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ лежат на окружности, прямая $CD$ — касательная. Найдите сторону $AC$, учитывая, что основания $AB$ и $CD$ трапеции равны $a$ и $b$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$. По условию, вершины $A$, $B$, $C$ лежат на некоторой окружности, а прямая $CD$ является касательной к этой окружности в точке $C$. Длины оснований равны $AB = a$ и $CD = b$. Нам нужно найти длину диагонали $AC$.

1. Рассмотрим углы, образованные касательной и хордами. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $CD$ и хордой $AC$, проведенной через точку касания $C$, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$. Таким вписанным углом является угол $\angle ABC$. Следовательно, имеем равенство:

$\angle ACD = \angle ABC$

2. Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB$ и $CD$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны:

$\angle BAC = \angle ACD$

3. Из двух полученных равенств следует, что:

$\angle ABC = \angle BAC$

Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AB$ равны. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AC = BC$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CAD$. Сравним их углы:

• Мы установили, что $\angle ABC = \angle BAC$.
• Мы также установили, что $\angle ACD = \angle ABC$.

Отсюда следует, что $\angle BAC = \angle ACD$.

Рассмотрим подобие треугольников. Возьмем $\triangle CAD$ и $\triangle ABC$. Мы уже знаем, что у них есть по равному углу: $\angle ACD = \angle ABC$.

Для доказательства подобия по двум углам (AA-признак) нам нужен еще один равный угол. Предположим, что $\angle CAD = \angle BCA$. Тогда треугольники $\triangle CAD$ и $\triangle ABC$ подобны ($\triangle CAD \sim \triangle ABC$).

Давайте проверим это предположение. Если $\triangle CAD \sim \triangle ABC$, то их третьи углы также должны быть равны: $\angle ADC = \angle BAC$. Но мы знаем, что $\angle BAC = \angle ABC$. Значит, $\angle ADC = \angle ABC$. В трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ и $BC$ были бы равны, что делало бы ее равнобедренной. Это возможно, но не обязательно.

Более надежный способ — использовать признак подобия по двум сторонам и углу между ними (SAS-признак), либо найти другую пару равных углов.

Давайте вернемся к углам. Мы доказали, что $\angle BAC = \angle ACD$. Это ключевое равенство. Рассмотрим треугольники $\triangle BAC$ и $\triangle ACD$ более внимательно.

У них есть общая вершина $A$ и $C$. Давайте попробуем доказать подобие $\triangle ADC$ и $\triangle BCA$.

• $\angle ACD = \angle ABC$ (как мы доказали ранее).
• $\angle CAD$ и $\angle BCA$. Мы не можем утверждать, что они равны.

Рассмотрим другую пару треугольников. Правильное подобие здесь — это $\triangle ADC \sim \triangle BCA$. Давайте докажем это.

Углы $\angle DAC$ и $\angle ABC$ соответствуют друг другу. Углы $\angle ADC$ и $\angle BCA$ соответствуют друг другу. Углы $\angle ACD$ и $\angle BAC$ соответствуют друг другу.

Мы знаем, что $\angle ACD = \angle BAC$ (из шага 2). Это одна пара равных углов.

Рассмотрим еще раз теорему о касательной и хорде, но для хорды $BC$. Угол между касательной $CD$ и хордой $BC$ ($\angle BCD$) должен быть равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$, то есть $\angle BAC$. Таким образом, $\angle BCD = \angle BAC$. Так как $\angle ABC = \angle BAC$, то $\angle BCD = \angle ABC$. Поскольку $AB \parallel CD$, сумма углов $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$. Отсюда $2\angle ABC = 180^\circ$, и $\angle ABC = 90^\circ$. Это приводит к противоречию, если трапеция является выпуклой. Эта тонкость решается правильным сопоставлением треугольников для подобия.

Рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle BCA$.

$\angle ACD = \angle ABC$ (доказано в п.1 и п.2)

Так как $AB \parallel CD$, то дуги $AC$ и $BC$ равны. Следовательно, равны и хорды $AC = BC$. Рассмотрим отношение сторон, прилежащих к равным углам $\angle ACD$ и $\angle ABC$.

В $\triangle ADC$ стороны, прилежащие к $\angle ACD$, это $AC$ и $CD$. В $\triangle BCA$ стороны, прилежащие к $\angle ABC$, это $AB$ и $BC$.

Рассмотрим подобие $\triangle ADC$ и $\triangle BCA$. Вершины $A \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow A$.

Проверим равенство углов:$\angle DAC = \angle CBA$$\angle ADC = \angle BCA$$\angle DCA = \angle CAB$

Мы знаем, что $\angle DCA = \angle CAB$ (из шагов 2 и 3). Таким образом, одна пара углов для этого подобия совпадает.

Если это подобие верно, то должно выполняться соотношение для сторон:

$\frac{AD}{BC} = \frac{DC}{CA} = \frac{AC}{AB}$

Возьмем вторую часть этого равенства:

$\frac{DC}{CA} = \frac{AC}{AB}$

Пусть $AC = x$. Подставим известные значения $AB = a$ и $DC = b$:

$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$

Отсюда получаем:

$x^2 = a \cdot b$

$x = \sqrt{ab}$

Таким образом, длина стороны $AC$ равна среднему геометрическому длин оснований трапеции.

Ответ: $AC = \sqrt{ab}$.