Номер 1014, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1014. Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $3$ и $1$ соответственно, $\angle A = 2\angle B$. Найдите сторону $BC$ и угол $B$, учитывая, что $CD = 1$.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Условие "учитывая, что CD = 1" является избыточным, так как длина основания CD уже дана и равна 1. Без дополнительной информации задача не имеет единственного решения. Наиболее вероятной опечаткой является замена стороны AD на CD. Далее задача решается в предположении, что боковая сторона $AD = 1$.

1. Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AD, до пересечения с основанием AB в точке E. Поскольку $AB \parallel CD$ и $AD \parallel CE$, четырехугольник AECD является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что $AE = CD = 1$ и $CE = AD$. Так как мы предположили, что $AD = 1$, то и $CE = 1$.

2. Найдем длину отрезка EB на основании AB: $EB = AB - AE = 3 - 1 = 2$.

3. Рассмотрим углы в получившемся треугольнике CEB. Угол при вершине B равен $∠B$. Так как $AD \parallel CE$, то $∠CEB = ∠DAB = ∠A$ как соответственные углы при параллельных прямых AD и CE и секущей AB. По условию $∠A = 2∠B$, значит $∠CEB = 2∠B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $∠BCE = 180^\circ - (∠CBE + ∠CEB) = 180^\circ - (∠B + 2∠B) = 180^\circ - 3∠B$.

Нахождение угла B

Применим теорему синусов для треугольника CEB:

$$ \frac{CE}{\sin(∠CBE)} = \frac{EB}{\sin(∠BCE)} $$

Подставим известные значения $CE=1$, $EB=2$ и выражения для углов:

$$ \frac{1}{\sin(∠B)} = \frac{2}{\sin(180^\circ - 3∠B)} $$

Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:

$$ \sin(3∠B) = 2\sin(∠B) $$

Используем формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$:

$$ 3\sin(∠B) - 4\sin^3(∠B) = 2\sin(∠B) $$

$$ \sin(∠B) - 4\sin^3(∠B) = 0 $$

$$ \sin(∠B)(1 - 4\sin^2(∠B)) = 0 $$

Поскольку $∠B$ — угол трапеции, он не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, поэтому $\sin(∠B) \neq 0$. Значит:

$$ 1 - 4\sin^2(∠B) = 0 \implies \sin^2(∠B) = \frac{1}{4} \implies \sin(∠B) = \frac{1}{2} $$

Мы берем положительное значение, так как угол трапеции находится в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$. Возможные значения $∠B = 30^\circ$ или $∠B = 150^\circ$. Однако угол $∠BCE$ в треугольнике должен быть положительным: $180^\circ - 3∠B > 0$, откуда $3∠B < 180^\circ$ и $∠B < 60^\circ$. Следовательно, единственное возможное решение: $∠B = 30^\circ$.

Нахождение стороны BC

Снова используем теорему синусов для треугольника CEB, но для другой пары сторон:

$$ \frac{BC}{\sin(∠CEB)} = \frac{EB}{\sin(∠BCE)} $$

Подставляем известные значения $EB=2$, $∠B=30^\circ$. Тогда $∠CEB=2∠B=60^\circ$ и $∠BCE = 180^\circ - 3∠B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

$$ \frac{BC}{\sin(60^\circ)} = \frac{2}{\sin(90^\circ)} $$

$$ \frac{BC}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{1} $$

$$ BC = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

Ответ: сторона $BC = \sqrt{3}$, угол $B = 30^\circ$.