Номер 1019, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1019. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите площадь треугольника и радиус круга, касающегося его боковой стороны и продолжений двух других сторон.

Найдите площадь треугольника

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 13$ см — боковые стороны, а $AC = 10$ см — основание. Для нахождения площади используем формулу $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем катет $BH$ (высоту треугольника $ABC$):
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 5^2 = 13^2$
$BH^2 + 25 = 169$
$BH^2 = 169 - 25 = 144$
$BH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Ответ: 60 см².

Найдите радиус круга, касающегося его боковой стороны и продолжений двух других сторон

Круг, о котором идет речь, является вневписанной окружностью треугольника. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$, вычисляется по формуле $r_a = \frac{S}{p-a}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр, а $a$ — сторона, которой касается окружность (в данном случае, боковая сторона).

Площадь треугольника мы уже нашли: $S = 60$ см².

Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Окружность касается боковой стороны, длина которой равна 13 см. Следовательно, в формуле $a = 13$ см. Теперь можем вычислить искомый радиус $r_{бок}$:

$r_{бок} = \frac{S}{p - a} = \frac{60}{18 - 13} = \frac{60}{5} = 12$ см.

Ответ: 12 см.