Номер 1015, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1015. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 3 см, а периметр — 42 см. Найдите площадь трапеции, учитывая, что диагональ является биссектрисой тупого угла. Рис. 314

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, меньшее основание $BC = 3$ см, а периметр $P = 42$ см. Так как трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Указано, что диагональ является биссектрисой тупого угла. Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из двух полученных равенств ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$) следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это значит, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $CD = AD$.

Так как $AB = CD$ (трапеция равнобедренная) и $CD = AD$ (из свойства биссектрисы), то все три стороны равны: $AB = CD = AD$. Обозначим длину этих сторон через $x$.

Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Подставим известные значения:
$42 = x + 3 + x + x$
$42 = 3x + 3$
$3x = 39$
$x = 13$ см.

Таким образом, мы нашли длины всех сторон трапеции:
Меньшее основание $BC = 3$ см.
Большее основание $AD = 13$ см.
Боковые стороны $AB = CD = 13$ см.

Для вычисления площади трапеции необходимо найти ее высоту $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $HD$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Гипотенуза $CD = 13$ см, катет $HD = 5$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $CH$, который является высотой трапеции $h$:
$CD^2 = CH^2 + HD^2$
$13^2 = h^2 + 5^2$
$169 = h^2 + 25$
$h^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований.
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{13 + 3}{2} \cdot 12 = \frac{16}{2} \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Ответ: 96 см².