Номер 1010, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1010. Диагонали трапеции равны 14 см, 48 см, а средняя линия — 25 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, диагоналями $d_1 = 14$ см и $d_2 = 48$ см, и средней линией $m = 25$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Из этого соотношения мы можем найти сумму оснований трапеции:

$a+b = 2m = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся следующим приемом. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. В результате построения мы получаем четырехугольник $BCED$. Так как $BC \parallel DE$ (как основания трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению), то $BCED$ — параллелограмм. Следовательно, $DE = BC = b$ и $CE = BD = 48$ см.

Рассмотрим полученный треугольник $ACE$. Его стороны равны:

• $AC = d_1 = 14$ см
• $CE = d_2 = 48$ см
• $AE = AD + DE = a + b = 50$ см

Высота трапеции, проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$, совпадает с высотой $h$ треугольника $ACE$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AE$. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты треугольника с известными сторонами.

Для начала проверим, является ли треугольник $ACE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AC^2 + CE^2 = 14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500$

$AE^2 = 50^2 = 2500$

Поскольку $AC^2 + CE^2 = AE^2$, треугольник $ACE$ является прямоугольным, где $AE$ — гипотенуза, а $AC$ и $CE$ — катеты.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 48 = 336$ см$^2$.

С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. В нашем случае, основание — это гипотенуза $AE$, а высота — искомая высота трапеции $h$.

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$

Приравняем два выражения для площади и найдем $h$:

$\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h = 336$

$25h = 336$

$h = \frac{336}{25} = 13,44$ см.

Ответ: 13,44 см.