Номер 1005, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1005. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, разделяет его на две части, у которых суммы биссектрисы и медианы, проведенных к меньшей стороне, равны 12 см и 35 см. Найдите сумму биссектрисы и медианы, проведенных к меньшему катету исходного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты $BC = a$ и $AC = b$, а гипотенузу $AB = c$. Проведем высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Эта высота разделяет исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Все три треугольника подобны друг другу: $\triangle ACH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC$. Это следует из равенства острых углов:

$\angle A$ – общий для $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$.
$\angle B$ – общий для $\triangle ABC$ и $\triangle BCH$.
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = \angle B$.
$\angle BCH = 90^\circ - \angle B = \angle A$.

Таким образом, имеем следующие подобия с указанием соответствия вершин: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Пусть, без ограничения общности, катет $a$ является меньшим катетом исходного треугольника, то есть $a \le b$. Тогда $\angle A \le \angle B$. В этом случае, наименьшей стороной в $\triangle CBH$ будет катет $BH$ (лежащий против угла $\angle BCH = \angle A$), а в $\triangle ACH$ наименьшей стороной будет катет $CH$ (лежащий против угла $\angle A$).

Обозначим сумму биссектрисы и медианы, проведенных к меньшему катету $a$ в исходном треугольнике $\triangle ABC$, как $S = l_a + m_a$. Это искомая величина.

Пусть $S_1$ – сумма биссектрисы и медианы, проведенных к наименьшей стороне $CH$ в $\triangle ACH$. Пусть $S_2$ – сумма биссектрисы и медианы, проведенных к наименьшей стороне $BH$ в $\triangle CBH$.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих линейных элементов (включая биссектрисы и медианы) равно коэффициенту подобия.

Для $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ коэффициент подобия $k_1$ равен отношению их гипотенуз: $k_1 = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$. Наименьшая сторона в $\triangle ACH$ – это катет $CH$, который соответствует меньшему катету $a$ в $\triangle ABC$ (оба лежат против угла $A$). Следовательно, $S_1 = k_1 \cdot S = \frac{b}{c} \cdot S$.

Для $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ коэффициент подобия $k_2$ равен отношению их гипотенуз: $k_2 = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}$. Наименьшая сторона в $\triangle CBH$ – это катет $BH$, который соответствует меньшему катету $a$ в $\triangle ABC$ (оба лежат против угла, равного $\angle A$). Следовательно, $S_2 = k_2 \cdot S = \frac{a}{c} \cdot S$.

По условию, значения $S_1$ и $S_2$ равны 12 см и 35 см. Поскольку мы приняли $a \le b$, то $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$, а значит $S_2 \le S_1$. Таким образом, получаем систему уравнений:

$S_1 = \frac{b}{c} \cdot S = 35$

$S_2 = \frac{a}{c} \cdot S = 12$

Из этих уравнений выразим отношения $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$:

$\frac{a}{c} = \frac{12}{S}$

$\frac{b}{c} = \frac{35}{S}$

Для любого прямоугольного треугольника справедливо теорема Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Разделив обе части на $c^2$, получим:

$(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$

Подставим в это уравнение полученные выражения:

$(\frac{12}{S})^2 + (\frac{35}{S})^2 = 1$

$\frac{144}{S^2} + \frac{1225}{S^2} = 1$

$\frac{144 + 1225}{S^2} = 1$

$\frac{1369}{S^2} = 1$

$S^2 = 1369$

$S = \sqrt{1369} = 37$

Таким образом, сумма биссектрисы и медианы, проведенных к меньшему катету исходного треугольника, равна 37 см.

Ответ: 37 см.