Номер 999, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

999. Определите, при каком условии плоскость $\vec{n} \cdot \vec{OX} + d = 0$ касается сферы $\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + M = 0$.

Для того чтобы плоскость касалась сферы, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра сферы до плоскости было равно радиусу сферы.

Сначала определим центр и радиус сферы. Уравнение сферы $\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + M = 0$ можно преобразовать, выделив полный квадрат: $\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + \vec{a}^2 - \vec{a}^2 + M = 0$. Это эквивалентно уравнению $(\vec{OX} - \vec{a})^2 = \vec{a}^2 - M$.

Из полученного уравнения видно, что центр сферы $C$ имеет радиус-вектор $\vec{OC} = \vec{a}$, а квадрат радиуса сферы равен $R^2 = \vec{a}^2 - M$. Соответственно, радиус $R = \sqrt{\vec{a}^2 - M}$. Для существования действительной сферы должно выполняться условие $\vec{a}^2 - M > 0$.

Уравнение плоскости дано в виде $\vec{n} \cdot \vec{OX} + d = 0$. Расстояние $\rho$ от центра сферы $C$ (с радиус-вектором $\vec{a}$) до этой плоскости вычисляется по формуле: $\rho = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a} + d|}{|\vec{n}|}$.

Условие касания $\rho = R$ приводит к равенству: $\frac{|\vec{n} \cdot \vec{a} + d|}{|\vec{n}|} = \sqrt{\vec{a}^2 - M}$.

Чтобы избавиться от модуля и квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{(\vec{n} \cdot \vec{a} + d)^2}{|\vec{n}|^2} = \vec{a}^2 - M$.

Умножив обе части на $|\vec{n}|^2$ (что то же самое, что и $\vec{n}^2$), получим искомое условие.

Ответ: $(\vec{n} \cdot \vec{a} + d)^2 = \vec{n}^2 (\vec{a}^2 - M)$.