Номер 992, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

992. Точки $A$ и $B$ лежат в разных гранях двугранного угла на одинаковом расстоянии от ребра. Найдите на этом ребре такую точку $M$, чтобы угол $AMB$ был наибольшим.

Пусть $l$ — ребро двугранного угла, а $\alpha$ и $\beta$ — его грани. Точка $A$ лежит в грани $\alpha$, а точка $B$ — в грани $\beta$. Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на ребро $l$. Пусть $A'$ и $B'$ — основания этих перпендикуляров. По определению, $A'$ и $B'$ являются проекциями точек $A$ и $B$ на прямую $l$. По условию, точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от ребра, следовательно, длины перпендикуляров равны: $AA' = BB' = h$.

Наша задача — найти на ребре $l$ такую точку $M$, чтобы угол $\angle AMB$ был наибольшим. Угол $\theta = \angle AMB$ является острым или тупым, то есть $0 < \theta < \pi$. На этом интервале функция $\cos \theta$ монотонно убывает. Следовательно, максимизация угла $\theta$ эквивалентна минимизации величины $\cos \theta$.

Для нахождения $\cos \theta$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AMB$: $AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB)$ Отсюда: $\cos(\angle AMB) = \frac{AM^2 + BM^2 - AB^2}{2 \cdot AM \cdot BM}$

Введем систему координат. Пусть ребро $l$ совпадает с осью Ox. Расположим начало координат $O$ в середине отрезка $A'B'$. Пусть длина отрезка $A'B'$ равна $d$. Тогда координаты проекций: $A'(-d/2, 0, 0)$ и $B'(d/2, 0, 0)$. Точка $M$ лежит на ребре $l$, ее координаты $M(x, 0, 0)$.

Треугольники $\triangle AA'M$ и $\triangle BB'M$ — прямоугольные (с прямыми углами при вершинах $A'$ и $B'$ соответственно). По теореме Пифагора: $AM^2 = (A'M)^2 + (AA')^2 = (x - (-d/2))^2 + h^2 = (x + d/2)^2 + h^2$ $BM^2 = (B'M)^2 + (BB')^2 = (x - d/2)^2 + h^2 = (x - d/2)^2 + h^2$

Расстояние $AB$ между точками $A$ и $B$ является постоянной величиной, не зависящей от положения точки $M$. Таким образом, нам нужно найти значение $x$, при котором функция $f(x) = \cos(\angle AMB)$ принимает минимальное значение: $f(x) = \frac{((x + d/2)^2 + h^2) + ((x - d/2)^2 + h^2) - AB^2}{2 \sqrt{((x + d/2)^2 + h^2) \cdot ((x - d/2)^2 + h^2)}}$

Рассмотрим эту задачу с точки зрения симметрии. Геометрическая постановка задачи симметрична относительно плоскости, проходящей через середину отрезка $A'B'$ и перпендикулярной ребру $l$. В нашей системе координат это плоскость $x=0$. Проверим, является ли функция $f(x)$ симметричной относительно $x=0$, то есть является ли она четной. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(((-x) + d/2)^2 + h^2) + (((-x) - d/2)^2 + h^2) - AB^2}{2 \sqrt{(((-x) + d/2)^2 + h^2) \cdot (((-x) - d/2)^2 + h^2)}}$ $f(-x) = \frac{((d/2 - x)^2 + h^2) + (-(x + d/2))^2 + h^2) - AB^2}{2 \sqrt{((d/2 - x)^2 + h^2) \cdot (-(x + d/2))^2 + h^2)}}$ $f(-x) = \frac{((x - d/2)^2 + h^2) + ((x + d/2)^2 + h^2) - AB^2}{2 \sqrt{((x - d/2)^2 + h^2) \cdot ((x + d/2)^2 + h^2)}} = f(x)$

Функция $f(x) = \cos(\angle AMB)$ является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Если у такой функции существует единственный экстремум (в нашем случае минимум), он должен находиться на оси симметрии, то есть при $x=0$.

Рассмотрим поведение угла $\angle AMB$ при удалении точки $M$ от отрезка $A'B'$. Когда $x \to \pm\infty$, отрезки $AM$ и $BM$ становятся почти параллельными, и угол $\angle AMB$ стремится к нулю. Так как угол всегда неотрицателен, он должен достигать своего максимального значения в некоторой конечной точке.

Поскольку функция $f(x) = \cos(\angle AMB(x))$ является четной и дифференцируемой, ее производная в точке $x=0$ равна нулю. Это означает, что в $x=0$ находится точка экстремума. Учитывая, что при $x \to \pm\infty$ угол стремится к 0 (а косинус к 1), а в точке $x=0$ угол очевидно не равен нулю, то в этой точке должен достигаться максимум угла (и, соответственно, минимум косинуса).

Точка $M$ с координатой $x=0$ является серединой отрезка $A'B'$. Таким образом, угол $\angle AMB$ будет наибольшим, когда точка $M$ является серединой отрезка, соединяющего проекции точек $A$ и $B$ на ребро двугранного угла.

Ответ: Искомая точка $M$ на ребре двугранного угла является серединой отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на это ребро.