Номер 997, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

997. Выбрано число $d$, ненулевой вектор $n$ и точка $O$ пространства. Докажите, что множество всех точек $X$ пространства, для которых верно равенство $\vec{n} \cdot \overrightarrow{OX} + d = 0$, есть плоскость. Найдите расстояние от точки $O$ до этой плоскости.

Задача состоит из двух частей: доказать, что данное уравнение задает плоскость, и найти расстояние от точки O до этой плоскости.

Доказательство того, что заданное множество точек является плоскостью

Нам дано уравнение, связывающее все точки $X$ некоторого множества: $$ \vec{n} \cdot \vec{OX} + d = 0 $$ где $\vec{n}$ — ненулевой вектор, $O$ — точка (начало радиус-векторов), $d$ — число.

Перепишем уравнение в виде: $$ \vec{n} \cdot \vec{OX} = -d $$

Поскольку вектор $\vec{n}$ ненулевой, то его модуль $|\vec{n}| \neq 0$ и, следовательно, $|\vec{n}|^2 \neq 0$. Рассмотрим точку $X_0$, радиус-вектор которой $\vec{OX_0}$ коллинеарен вектору $\vec{n}$. Пусть $\vec{OX_0} = k\vec{n}$ для некоторого числа $k$. Мы можем найти такую точку $X_0$, которая принадлежит нашему множеству. Для этого она должна удовлетворять исходному уравнению: $$ \vec{n} \cdot \vec{OX_0} + d = 0 $$ Подставим сюда выражение для $\vec{OX_0}$: $$ \vec{n} \cdot (k\vec{n}) + d = 0 $$ $$ k(\vec{n} \cdot \vec{n}) + d = 0 $$ $$ k|\vec{n}|^2 + d = 0 $$ Отсюда находим $k$: $$ k = -\frac{d}{|\vec{n}|^2} $$ Таким образом, существует точка $X_0$, принадлежащая нашему множеству, с радиус-вектором $\vec{OX_0} = -\frac{d}{|\vec{n}|^2}\vec{n}$.

Теперь возьмем любую точку $X$ из заданного множества. Для нее, как и для точки $X_0$, выполняются равенства: $$ \vec{n} \cdot \vec{OX} = -d $$ $$ \vec{n} \cdot \vec{OX_0} = -d $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ \vec{n} \cdot \vec{OX} - \vec{n} \cdot \vec{OX_0} = -d - (-d) $$ $$ \vec{n} \cdot (\vec{OX} - \vec{OX_0}) = 0 $$ По правилу вычитания векторов, $\vec{OX} - \vec{OX_0} = \vec{X_0X}$. Следовательно, мы получаем: $$ \vec{n} \cdot \vec{X_0X} = 0 $$

Это равенство означает, что для любой точки $X$ из нашего множества вектор $\vec{X_0X}$ перпендикулярен постоянному ненулевому вектору $\vec{n}$. Множество всех точек $X$, для которых вектор, соединяющий их с фиксированной точкой $X_0$, перпендикулярен заданному вектору $\vec{n}$, по определению является плоскостью, проходящей через точку $X_0$ с вектором нормали $\vec{n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что множество точек, удовлетворяющих уравнению $\vec{n} \cdot \vec{OX} + d = 0$, является плоскостью.

Нахождение расстояния от точки O до этой плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на нашу плоскость. Тогда вектор $\vec{OH}$ будет коллинеарен вектору нормали $\vec{n}$, так как он перпендикулярен плоскости.

Это означает, что существует такое число $\lambda$, что: $$ \vec{OH} = \lambda\vec{n} $$

Поскольку точка $H$ лежит на плоскости, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости: $$ \vec{n} \cdot \vec{OH} + d = 0 $$ Подставим в это уравнение выражение для $\vec{OH}$: $$ \vec{n} \cdot (\lambda\vec{n}) + d = 0 $$ $$ \lambda(\vec{n} \cdot \vec{n}) + d = 0 $$ $$ \lambda|\vec{n}|^2 + d = 0 $$ Отсюда находим значение $\lambda$: $$ \lambda = -\frac{d}{|\vec{n}|^2} $$ Таким образом, радиус-вектор точки $H$ равен: $$ \vec{OH} = -\frac{d}{|\vec{n}|^2}\vec{n} $$

Расстояние от точки $O$ до плоскости равно длине (модулю) вектора $\vec{OH}$: $$ \rho(O, \text{плоскость}) = |\vec{OH}| = \left| -\frac{d}{|\vec{n}|^2}\vec{n} \right| $$ Используя свойство модуля вектора $|c\vec{v}| = |c||\vec{v}|$, получаем: $$ \rho = \left| -\frac{d}{|\vec{n}|^2} \right| \cdot |\vec{n}| = \frac{|d|}{|\vec{n}|^2} \cdot |\vec{n}| = \frac{|d|}{|\vec{n}|} $$

Ответ: Расстояние от точки O до этой плоскости равно $\frac{|d|}{|\vec{n}|}$.