Номер 994, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

994. Двугранные углы BSAC и ASBC равны соответственно $90^\circ$ и $50^\circ$.

В каких пределах находится величина двугранного угла ASCB?

Для решения этой задачи рассмотрим трехгранный угол с вершиной в точке C, образованный плоскостями ASC, BSC и ABC. Ребрами этого трехгранного угла являются лучи CA, CB и CS.

Введем обозначения для двугранных углов:

• $\alpha_{AC}$ — двугранный угол при ребре AC (между плоскостями ABC и ASC), равный $90^\circ$. В задаче он обозначен как BSAC.
• $\alpha_{BC}$ — двугранный угол при ребре BC (между плоскостями ABC и BSC), равный $50^\circ$. В задаче он обозначен как ASBC.
• $\alpha_{SC}$ — искомый двугранный угол при ребре SC (между плоскостями ASC и BSC). В задаче он обозначен как ASCB.

Также обозначим плоский угол между ребрами CA и CB как $\angle ACB$.

Воспользуемся второй теоремой косинусов для трехгранного угла, которая связывает его двугранные углы и плоский угол между ними:

$\cos(\alpha_{SC}) = -\cos(\alpha_{AC})\cos(\alpha_{BC}) + \sin(\alpha_{AC})\sin(\alpha_{BC})\cos(\angle ACB)$

Подставим известные значения $\alpha_{AC} = 90^\circ$ и $\alpha_{BC} = 50^\circ$ в эту формулу:

$\cos(\alpha_{SC}) = -\cos(90^\circ)\cos(50^\circ) + \sin(90^\circ)\sin(50^\circ)\cos(\angle ACB)$

Так как $\cos(90^\circ) = 0$ и $\sin(90^\circ) = 1$, выражение упрощается:

$\cos(\alpha_{SC}) = -0 \cdot \cos(50^\circ) + 1 \cdot \sin(50^\circ)\cos(\angle ACB)$

$\cos(\alpha_{SC}) = \sin(50^\circ)\cos(\angle ACB)$

Теперь нам нужно определить возможный диапазон значений для $\cos(\alpha_{SC})$. Этот диапазон зависит от возможных значений плоского угла $\angle ACB$. Плоский угол трехгранного угла (который также является углом треугольника ABC) может принимать любое значение в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

$0^\circ < \angle ACB < 180^\circ$

Следовательно, косинус этого угла может принимать любое значение в интервале от -1 до 1:

$-1 < \cos(\angle ACB) < 1$

Подставим этот диапазон в наше уравнение для $\cos(\alpha_{SC})$. Поскольку $\sin(50^\circ)$ является положительной константой, мы можем умножить неравенство на нее, не меняя знаков:

$-\sin(50^\circ) < \sin(50^\circ)\cos(\angle ACB) < \sin(50^\circ)$

$-\sin(50^\circ) < \cos(\alpha_{SC}) < \sin(50^\circ)$

Чтобы найти диапазон для угла $\alpha_{SC}$, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$, поэтому $\sin(50^\circ) = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos(40^\circ)$.

Также мы знаем, что $-\cos(x) = \cos(180^\circ - x)$, поэтому $-\cos(40^\circ) = \cos(180^\circ - 40^\circ) = \cos(140^\circ)$.

Теперь наше неравенство принимает вид:

$\cos(140^\circ) < \cos(\alpha_{SC}) < \cos(40^\circ)$

Двугранный угол $\alpha_{SC}$ должен находиться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале функция косинуса является монотонно убывающей. Это означает, что если $\cos(x_1) < \cos(x_2)$, то $x_1 > x_2$. Применяя это свойство к нашему неравенству, мы получаем:

$140^\circ > \alpha_{SC} > 40^\circ$

Таким образом, величина двугранного угла ASCB находится в пределах от $40^\circ$ до $140^\circ$.

Ответ: Величина двугранного угла ASCB находится в пределах $(40^\circ, 140^\circ)$.