Номер 996, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

996. Пусть сумма двугранных углов $BSAC$, $ASBC$ равна $180^\circ$. Докажите, что тогда сумма плоских углов $ASC$ и $BSC$ также равна $180^\circ$. Определите, верно ли обратное утверждение.

Для решения задачи воспользуемся теоремами косинусов для трехгранного угла, которые являются аналогами теорем косинусов в сферической тригонометрии. Рассмотрим трехгранный угол $SABC$ с вершиной в точке $S$.

Введем следующие обозначения:

• $\alpha = \angle BSC$, $\beta = \angle ASC$, $\gamma = \angle ASB$ — плоские углы при вершине $S$.
• $A, B, C$ — двугранные углы при ребрах $SA, SB, SC$ соответственно. Двугранный угол $BSAC$ соответствует углу $A$, а $ASBC$ — углу $B$.

Условие задачи можно записать так: дано $A+B=180^\circ$, доказать, что $\alpha+\beta=180^\circ$. Также необходимо проверить обратное утверждение.

Докажите, что тогда сумма плоских углов ASC и BSC также равна 180°

Для связи между двугранными и плоскими углами воспользуемся второй теоремой косинусов для трехгранного угла:

$\cos A = -\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos \alpha$ (1)

$\cos B = -\cos A \cos C + \sin A \sin C \cos \beta$ (2)

По условию $A+B=180^\circ$. Из этого следует, что $\cos B = \cos(180^\circ - A) = -\cos A$ и $\sin B = \sin(180^\circ - A) = \sin A$, поскольку двугранные углы $A$ и $B$ находятся в интервале $(0, 180^\circ)$.

Подставим эти соотношения в уравнение (1):

$\cos A = -(-\cos A) \cos C + \sin A \sin C \cos \alpha$

$\cos A = \cos A \cos C + \sin A \sin C \cos \alpha$

$\cos A - \cos A \cos C = \sin A \sin C \cos \alpha$

$\cos A (1 - \cos C) = \sin A \sin C \cos \alpha$ (3)

Теперь подставим $\cos B = -\cos A$ в уравнение (2):

$-\cos A = -\cos A \cos C + \sin A \sin C \cos \beta$

$\cos A \cos C - \cos A = \sin A \sin C \cos \beta$

$\cos A (\cos C - 1) = \sin A \sin C \cos \beta$ (4)

Сравнивая левые части уравнений (3) и (4), видим, что они отличаются знаком: $\cos A (1 - \cos C) = -\cos A (\cos C - 1)$. Следовательно, правые части также должны отличаться знаком:

$\sin A \sin C \cos \alpha = -\sin A \sin C \cos \beta$

Для невырожденного трехгранного угла двугранные углы $A$ и $C$ находятся в интервале $(0, 180^\circ)$, поэтому $\sin A \neq 0$ и $\sin C \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sin A \sin C$:

$\cos \alpha = -\cos \beta$

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ являются плоскими углами трехгранного угла, они также лежат в интервале $(0, 180^\circ)$. Из равенства $\cos \alpha = -\cos \beta$ следует, что $\alpha + \beta = 180^\circ$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Определите, верно ли обратное утверждение

Проверим обратное утверждение: если сумма плоских углов $\angle ASC$ и $\angle BSC$ равна $180^\circ$, то будет ли сумма соответствующих двугранных углов $BSAC$ и $ASBC$ также равна $180^\circ$?

Дано: $\alpha + \beta = 180^\circ$. Нужно проверить, верно ли, что $A + B = 180^\circ$.

Для этого воспользуемся первой теоремой косинусов для трехгранного угла:

$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A$ (5)

$\cos \beta = \cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos B$ (6)

Из условия $\alpha + \beta = 180^\circ$ следует, что $\cos \beta = -\cos \alpha$ и $\sin \beta = \sin \alpha$.

Подставим эти соотношения в уравнение (5):

$\cos \alpha = (-\cos \alpha) \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos A$

$\cos \alpha + \cos \alpha \cos \gamma = \sin \alpha \sin \gamma \cos A$

$\cos \alpha (1 + \cos \gamma) = \sin \alpha \sin \gamma \cos A$ (7)

Теперь подставим $\cos \beta = -\cos \alpha$ в уравнение (6):

$-\cos \alpha = \cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos B$

$-\cos \alpha - \cos \alpha \cos \gamma = \sin \alpha \sin \gamma \cos B$

$-\cos \alpha (1 + \cos \gamma) = \sin \alpha \sin \gamma \cos B$ (8)

Сравнивая левые части уравнений (7) и (8), видим, что они отличаются знаком. Следовательно, их правые части также должны отличаться знаком:

$\sin \alpha \sin \gamma \cos A = - \sin \alpha \sin \gamma \cos B$

Для невырожденного трехгранного угла плоские углы $\alpha$ и $\gamma$ находятся в интервале $(0, 180^\circ)$, поэтому $\sin \alpha \neq 0$ и $\sin \gamma \neq 0$. Разделим обе части равенства на $\sin \alpha \sin \gamma$:

$\cos A = -\cos B$

Поскольку $A$ и $B$ — двугранные углы, они лежат в интервале $(0, 180^\circ)$. Из равенства $\cos A = -\cos B$ следует, что $A + B = 180^\circ$. Таким образом, обратное утверждение верно.

Ответ: Да, обратное утверждение верно.