Номер 993, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Рассмотрим трехгранный угол с вершиной в точке S и ребрами SA, SB, SC. Согласно условию и рисунку, $\hat{A}$, $\hat{B}$ и $\hat{C}$ являются двугранными углами этого трехгранного угла при ребрах SA, SB и SC соответственно.

Для доказательства неравенства воспользуемся методами сферической геометрии. Построим сферу единичного радиуса с центром в вершине S. Пересечение лучей SA, SB, SC с этой сферой образует вершины сферического треугольника. Обозначим их A', B', C'.

Углы этого сферического треугольника A'B'C' в точности равны соответствующим двугранным углам трехгранного угла. То есть, углы сферического треугольника равны $\hat{A}$, $\hat{B}$ и $\hat{C}$.

Согласно одной из основных теорем сферической геометрии, сумма углов любого сферического треугольника строго больше $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) и строго меньше $540^\circ$ (или $3\pi$ радиан).

Следовательно, для суммы углов $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}$ справедливо двойное неравенство:

$180^\circ < \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} < 540^\circ$

Это доказывает утверждение пункта а).

Ответ: Неравенство доказано.

Требуется доказать неравенство $\hat{A} > \hat{B} + \hat{C} - 180^\circ$. Перепишем его в виде $\hat{A} + 180^\circ > \hat{B} + \hat{C}$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим полярный (или двойственный) трехгранный угол к исходному трехгранному углу с вершиной S.

Пусть плоские углы исходного трехгранного угла равны $\alpha = \angle BSC$, $\beta = \angle ASC$ и $\gamma = \angle ASB$. Его двугранные углы равны $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$.

Плоские углы полярного трехгранного угла (обозначим их $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$) связаны с двугранными углами исходного угла следующими соотношениями:

$\alpha' = 180^\circ - \hat{A}$

$\beta' = 180^\circ - \hat{B}$

$\gamma' = 180^\circ - \hat{C}$

Для любого выпуклого трехгранного угла справедливо, что сумма любых двух его плоских углов больше третьего (неравенство треугольника для плоских углов). Применим это свойство к полярному трехгранному углу:

$\beta' + \gamma' > \alpha'$

Теперь подставим в это неравенство выражения для $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$ через $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$:

$(180^\circ - \hat{B}) + (180^\circ - \hat{C}) > 180^\circ - \hat{A}$

Упростим полученное выражение:

$360^\circ - \hat{B} - \hat{C} > 180^\circ - \hat{A}$

$360^\circ - 180^\circ > \hat{B} + \hat{C} - \hat{A}$

$180^\circ > \hat{B} + \hat{C} - \hat{A}$

Наконец, преобразуем последнее неравенство к требуемому виду, перенеся $\hat{A}$ в левую часть:

$\hat{A} > \hat{B} + \hat{C} - 180^\circ$

Это доказывает утверждение пункта б).

Ответ: Неравенство доказано.