Номер 998, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

998. Выбрано число $M$, точка $O$ пространства и ненулевой вектор $\vec{a}$,

$\vec{a} \cdot \vec{a} > M$. Докажите, что множество всех точек $X$ пространства, для которых выполняется равенство $\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + M = 0$, есть

сфера. Найдите центр и радиус этой сферы.

Рассмотрим данное равенство: $\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + M = 0$.

Уравнение сферы в векторной форме имеет вид $(\vec{X} - \vec{C})^2 = R^2$, где $\vec{C}$ — радиус-вектор центра сферы, а $R$ — её радиус. Раскрывая скобки, получаем: $\vec{X}^2 - 2\vec{C} \cdot \vec{X} + \vec{C}^2 - R^2 = 0$.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, преобразуем его к стандартному виду, выделив полный квадрат. Для этого прибавим и вычтем из левой части равенства скалярный квадрат вектора $\vec{a}$, то есть $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$:

$(\vec{OX}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{OX} + \vec{a}^2) - \vec{a}^2 + M = 0$

Сгруппируем первые три члена, которые представляют собой полный квадрат разности векторов $\vec{OX}$ и $\vec{a}$:

$(\vec{OX} - \vec{a})^2 - \vec{a}^2 + M = 0$

Перенесём остальные члены в правую часть:

$(\vec{OX} - \vec{a})^2 = \vec{a}^2 - M$

Пусть в пространстве существует точка $C$, такая, что её радиус-вектор относительно точки $O$ равен вектору $\vec{a}$, то есть $\vec{OC} = \vec{a}$. Тогда разность векторов $\vec{OX} - \vec{a}$ можно представить как $\vec{OX} - \vec{OC} = \vec{CX}$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$\vec{CX}^2 = \vec{a}^2 - M$

Это уравнение задает множество точек $X$, квадрат расстояния от которых до фиксированной точки $C$ является постоянной величиной. Такое геометрическое место точек является сферой.

Для того чтобы это была сфера, её радиус $R$ должен быть действительным и положительным числом, что эквивалентно условию $R^2 > 0$. В нашем случае $R^2 = \vec{a}^2 - M$.

По условию задачи дано, что $\vec{a} \cdot \vec{a} > M$, что то же самое, что $\vec{a}^2 > M$. Отсюда следует, что $\vec{a}^2 - M > 0$. Следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{\vec{a}^2 - M}$ является действительным положительным числом.

Таким образом, мы доказали, что множество точек $X$ является сферой. Центром этой сферы является точка $C$, радиус-вектор которой $\vec{OC} = \vec{a}$, а радиус равен $R = \sqrt{\vec{a}^2 - M}$.

Ответ: Множество точек X является сферой с центром в точке $C$, такой, что $\vec{OC} = \vec{a}$, и радиусом $R = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a} - M}$.