Номер 1001, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1001. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 4, а гипотенуза равна 82 см. Найдите отрезки, на которые разделяет гипотенузу проведенная к ней высота.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки $p$ и $q$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

По условию задачи, отношение катетов $a : b = 5 : 4$, а длина гипотенузы $c = 82$ см.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие метрические соотношения: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Запишем эти соотношения для наших катетов:
$a^2 = c \cdot p$
$b^2 = c \cdot q$

Чтобы найти отношение отрезков $p$ и $q$, разделим первое уравнение на второе:
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot p}{c \cdot q}$
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{p}{q}$

Подставим известное отношение катетов $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$:
$\frac{p}{q} = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$

Это означает, что отрезки $p$ и $q$ относятся как $25 : 16$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $p = 25x$ и $q = 16x$.

Сумма длин отрезков $p$ и $q$ равна длине гипотенузы $c$:
$p + q = c$
$25x + 16x = 82$
$41x = 82$
$x = \frac{82}{41} = 2$

Теперь можем найти длины искомых отрезков:
$p = 25x = 25 \cdot 2 = 50$ см.
$q = 16x = 16 \cdot 2 = 32$ см.

Проверка: $p + q = 50 + 32 = 82$ см, что равно длине гипотенузы.

Ответ: 50 см и 32 см.