Номер 995, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

995. Сумма двугранных углов $BSAC$, $ASBC$, $ASCB$ равна $360^\circ$. Докажите, что сумма косинусов плоских углов $ASB$, $ASC$ и $BSC$ равна $-1$.

Рассмотрим трехгранный угол с вершиной в точке $S$ и ребрами $SA$, $SB$, $SC$.

Обозначим плоские углы при вершине $S$ следующим образом:$\angle BSC = a$, $\angle ASC = b$, $\angle ASB = c$.

Двугранные углы при ребрах этого трехгранного угла соответствуют углам, данным в условии:

• Двугранный угол при ребре $SA$ (между плоскостями $ASB$ и $ASC$) обозначим $\alpha$. В условии это $BSAC$.
• Двугранный угол при ребре $SB$ (между плоскостями $ASB$ и $BSC$) обозначим $\beta$. В условии это $ASBC$.
• Двугранный угол при ребре $SC$ (между плоскостями $ASC$ и $BSC$) обозначим $\gamma$. В условии это $ASCB$.

По условию задачи, сумма двугранных углов равна $360^\circ$:$\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$.

Требуется доказать, что сумма косинусов плоских углов равна $-1$:$\cos a + \cos b + \cos c = -1$.

Для доказательства воспользуемся соотношениями для трехгранного угла, которые известны как теоремы косинусов для сферического треугольника. Если пересечь трехгранный угол сферой единичного радиуса с центром в вершине $S$, то на сфере образуется сферический треугольник. Длины сторон этого треугольника равны величинам плоских углов ($a, b, c$), а его внутренние углы равны величинам соответствующих двугранных углов ($\alpha, \beta, \gamma$).

Вторая теорема косинусов для сферического треугольника (или теорема косинусов для углов) устанавливает связь между углами и сторонами:
$\cos \alpha = -\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos a$
$\cos \beta = -\cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos b$
$\cos \gamma = -\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos c$

Выразим из этих формул косинусы плоских углов $a, b, c$:
$\cos a = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$
$\cos b = \frac{\cos \beta + \cos \alpha \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \gamma}$
$\cos c = \frac{\cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

Воспользуемся данным в условии соотношением $\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$. Из него следует, что $\gamma = 360^\circ - (\alpha + \beta)$. Тогда для $\cos \gamma$ получаем:
$\cos \gamma = \cos(360^\circ - (\alpha + \beta)) = \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим это выражение в формулу для $\cos c$:
$\cos c = \frac{(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{2\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{2\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} - 1 = 2 \cot \alpha \cot \beta - 1$.

По аналогии, выражая $\alpha$ через $\beta$ и $\gamma$, и $\beta$ через $\alpha$ и $\gamma$, получим симметричные формулы для $\cos a$ и $\cos b$:
$\cos a = 2 \cot \beta \cot \gamma - 1$
$\cos b = 2 \cot \alpha \cot \gamma - 1$

Теперь найдем сумму косинусов плоских углов:
$\cos a + \cos b + \cos c = (2 \cot \beta \cot \gamma - 1) + (2 \cot \alpha \cot \gamma - 1) + (2 \cot \alpha \cot \beta - 1)$
$\cos a + \cos b + \cos c = 2(\cot \alpha \cot \beta + \cot \beta \cot \gamma + \cot \alpha \cot \gamma) - 3$.

Докажем, что если $\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$, то выполняется тождество: $\cot \alpha \cot \beta + \cot \beta \cot \gamma + \cot \alpha \cot \gamma = 1$.
Так как $\gamma = 360^\circ - (\alpha + \beta)$, то $\cot \gamma = \cot(360^\circ - (\alpha + \beta)) = \cot(-(\alpha+\beta)) = -\cot(\alpha+\beta)$.
Используя формулу котангенса суммы $\cot(\alpha+\beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$, преобразуем левую часть тождества:
$\cot \alpha \cot \beta + \cot \gamma (\cot \alpha + \cot \beta) = \cot \alpha \cot \beta - \cot(\alpha+\beta)(\cot \alpha + \cot \beta)$
$= \cot \alpha \cot \beta - \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}(\cot \alpha + \cot \beta) = \cot \alpha \cot \beta - (\cot \alpha \cot \beta - 1) = 1$.
Тождество доказано.

Подставим полученный результат в выражение для суммы косинусов:
$\cos a + \cos b + \cos c = 2(1) - 3 = -1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано. Сумма косинусов плоских углов $ASB$, $ASC$ и $BSC$ действительно равна $-1$.