Номер 991, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

991. Докажите, что если шар касается всех ребер треугольной пирамиды, то суммы длин противоположных ребер одинаковы (рис. 309).

Рис. 309

Пусть дана треугольная пирамида (тетраэдр) $ABCD$, и существует шар, который касается всех шести её рёбер.

Воспользуемся свойством касательных, проведённых к сфере из одной точки. Отрезки касательных от этой точки до точек касания равны по длине.

Пусть шар касается рёбер, выходящих из вершины $A$, в некоторых точках. Тогда отрезки от вершины $A$ до этих точек касания равны. Обозначим эту длину как $a$. Аналогично для других вершин:

• Отрезки касательных из вершины $A$ равны $a$.
• Отрезки касательных из вершины $B$ равны $b$.
• Отрезки касательных из вершины $C$ равны $c$.
• Отрезки касательных из вершины $D$ равны $d$.

Теперь выразим длины всех шести рёбер пирамиды через эти величины. Каждое ребро состоит из двух таких отрезков, проведённых из его концевых вершин.

• $AB = a + b$
• $AC = a + c$
• $AD = a + d$
• $BC = b + c$
• $BD = b + d$
• $CD = c + d$

Парами противоположных рёбер в тетраэдре $ABCD$ являются $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$. Найдём суммы их длин:

• $AB + CD = (a + b) + (c + d) = a + b + c + d$
• $AC + BD = (a + c) + (b + d) = a + b + c + d$
• $AD + BC = (a + d) + (b + c) = a + b + c + d$

Все три суммы оказались равны одному и тому же значению $a + b + c + d$. Следовательно, суммы длин противоположных рёбер равны между собой:

$AB + CD = AC + BD = AD + BC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Суммы длин противоположных ребер равны, так как каждая такая сумма равна сумме длин четырех уникальных отрезков касательных, проведенных из каждой вершины пирамиды к шару.