Номер 984, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

984. На плоскости $P$ расположен конус, радиус основания которого равен 3, а высота 4. Шесть равных шаров расположены так, что каждый касается двух соседних, плоскости $P$ и боковой поверхности конуса. Найдите радиусы шаров.

Пусть $r$ — искомый радиус шаров.

Поскольку все шесть шаров касаются плоскости $P$, их центры находятся в плоскости, параллельной $P$, на расстоянии $r$ от нее.

Так как каждый шар касается двух соседних, центры шаров образуют правильный шестиугольник в этой плоскости. Расстояние между центрами двух соседних шаров равно $2r$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны. Следовательно, расстояние от оси конуса до центра любого из шаров равно стороне шестиугольника, то есть $2r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через центр одного из шаров. В этом сечении конус представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H=4$ и половиной основания $R=3$. Шар в сечении — это окружность радиусом $r$. Центр этой окружности удален от оси конуса (оси симметрии треугольника) на расстояние $2r$ и от основания конуса на расстояние $r$.

Введем систему координат. Пусть ось $Oy$ совпадает с осью конуса, а ось $Ox$ — с прямой, лежащей в плоскости основания конуса. Вершина конуса находится в точке $(0, 4)$, а точка на краю основания — $(3, 0)$. Центр шара в этом сечении будет иметь координаты $(2r, r)$.

Образующая конуса в этом сечении является прямой, проходящей через точки $(3, 0)$ и $(0, 4)$. Уравнение этой прямой имеет вид $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$. Приведем его к общему виду: $4x + 3y = 12$, или $4x + 3y - 12 = 0$.

Условие касания шара и боковой поверхности конуса означает, что расстояние от центра шара $(2r, r)$ до прямой-образующей $4x + 3y - 12 = 0$ равно радиусу шара $r$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим наши значения:$r = \frac{|4(2r) + 3(r) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$$r = \frac{|8r + 3r - 12|}{\sqrt{16 + 9}}$$r = \frac{|11r - 12|}{5}$

Получаем уравнение $5r = |11r - 12|$. Это уравнение распадается на два случая:

1) $5r = 11r - 12$$6r = 12$$r = 2$

2) $5r = -(11r - 12)$$5r = -11r + 12$$16r = 12$$r = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Шары расположены снаружи конуса. Это означает, что центр шара $(2r, r)$ и начало координат $(0, 0)$ (которое лежит внутри проекции конуса) должны находиться по разные стороны от прямой $4x + 3y - 12 = 0$. Проверим знак выражения $4x + 3y - 12$ для центра шара: $4(2r) + 3(r) - 12 = 11r - 12$. Так как для начала координат $(0,0)$ выражение равно $-12$, для центра шара оно должно быть положительным.$11r - 12 > 0 \implies 11r > 12 \implies r > \frac{12}{11}$.

Проверим наши решения:1) $r = 2$. Так как $2 > \frac{12}{11}$, это решение подходит.2) $r = \frac{3}{4}$. Так как $\frac{3}{4} = \frac{33}{44}$, а $\frac{12}{11} = \frac{48}{44}$, то $\frac{3}{4} < \frac{12}{11}$. Это решение не подходит, оно соответствует случаю, когда шары находятся внутри конуса.

Следовательно, радиус шаров равен 2.

Ответ: 2