Номер 980, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

980. Каждый плоский угол при вершине трехгранного угла равен $60^\circ$.

В трехгранный угол вписаны два шара, касающиеся друг друга (рис. 308). Найдите отношение их радиусов.

Рис. 308

Пусть $S$ — вершина трехгранного угла. Так как все плоские углы при вершине равны $60^\circ$, трехгранный угол имеет ось симметрии, проходящую через вершину $S$. Центры любых вписанных в этот угол шаров должны лежать на этой оси.

Обозначим радиусы двух шаров как $R$ и $r$, и пусть $R > r$. Их центры $O_R$ и $O_r$ лежат на оси симметрии. Шар меньшего радиуса $r$ находится ближе к вершине $S$.

Рассмотрим сечение системы плоскостью, содержащей ось симметрии и перпендикулярной одной из граней трехгранного угла. В сечении мы увидим ось симметрии в виде прямой, грань — в виде другой прямой, пересекающей ось в точке $S$, и шары — в виде двух касающихся друг друга окружностей, центры которых лежат на оси, а сами окружности касаются прямой, изображающей грань.

Пусть $\alpha$ — это угол между осью симметрии и любой из граней. Для каждого шара расстояние от его центра до грани равно его радиусу. Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $S$, центром шара и точкой касания на грани, получаем:
$r = SO_r \cdot \sin\alpha$
$R = SO_R \cdot \sin\alpha$
Отсюда можно выразить расстояния от вершины до центров шаров:
$SO_r = \frac{r}{\sin\alpha}$ и $SO_R = \frac{R}{\sin\alpha}$.

Поскольку шары касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_rO_R = R + r$. Также, поскольку центры лежат на оси, это расстояние равно разности расстояний от вершины $S$: $O_rO_R = SO_R - SO_r$. Приравнивая эти выражения, получаем:
$R + r = SO_R - SO_r = \frac{R}{\sin\alpha} - \frac{r}{\sin\alpha} = \frac{R-r}{\sin\alpha}$
Из этого соотношения можно найти искомое отношение радиусов, если найти значение $\sin\alpha$. Выразим $\sin\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{R-r}{R+r}$

Чтобы найти угол $\alpha$, воспользуемся координатным методом. Поместим вершину $S$ в начало координат $(0,0,0)$, а ось симметрии направим вдоль оси $z$. Ребра трехгранного угла образуют одинаковый угол $\beta$ с осью $z$. Пусть единичные векторы ребер $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$. Угол между ними $60^\circ$. Их скалярное произведение $\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = \cos 60^\circ = 1/2$. Если выразить координаты векторов через $\beta$, то получим:
$-\frac{1}{2}\sin^2\beta + \cos^2\beta = \frac{1}{2}$
Используя основное тригонометрическое тождество, находим, что $\cos^2\beta = 2/3$ и $\sin^2\beta = 1/3$.

Угол $\alpha$ между гранью и осью симметрии ($z$) является дополнением до $90^\circ$ угла $\psi$ между нормалью к этой грани $\vec{n}$ и осью $z$. Таким образом, $\sin\alpha = \cos\psi$. Косинус угла между векторами находится по формуле:
$\cos\psi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{L}|}{|\vec{n}| |\vec{L}|}$, где $\vec{L}=(0,0,1)$ — вектор оси.
Вектор нормали к грани, образованной векторами $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$, равен их векторному произведению $\vec{n} = \vec{e_1} \times \vec{e_2}$. После вычислений компонент этого вектора и его модуля, получаем:
$\vec{n} \cdot \vec{L} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
$|\vec{n}|^2 = 3\sin^2\beta\cos^2\beta + \frac{3}{4}\sin^4\beta = 3(\frac{1}{3})(\frac{2}{3}) + \frac{3}{4}(\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
$|\vec{n}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $\cos\psi = \frac{\sqrt{3}/6}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\sin\alpha = 1/3$.

Теперь подставим найденное значение $\sin\alpha$ в полученное ранее соотношение для радиусов:
$\frac{1}{3} = \frac{R-r}{R+r}$
$R+r = 3(R-r)$
$R+r = 3R - 3r$
$4r = 2R$
$\frac{R}{r} = 2$.

Ответ: Отношение радиусов двух шаров равно 2:1 (или 1:2).