Номер 982, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

982. Около конуса с высотой 1 описана пирамида, основанием которой является ромб с диагоналями 6 и 8. Найдите радиусы шаров, вписанных в трехгранные углы при основании и касающихся боковой поверхности конуса.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$, а $S$ — ее вершина. Центр основания ромба (и основания конуса) — точка $O$. Диагонали ромба равны $d_1 = 6$ и $d_2 = 8$. Половины диагоналей равны $3$ и $4$.

Сторона ромба $a$ находится по теореме Пифагора:$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Площадь ромба $S_{ромба} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Так как пирамида описана около конуса, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус этой окружности, который является радиусом основания конуса $R$, можно найти через площадь и полупериметр ромба, или через высоту ромба $h_{ромба} = 2R$. Площадь ромба также равна $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2R$.$R = \frac{S_{ромба}}{2a} = \frac{24}{2 \cdot 5} = \frac{12}{5} = 2.4$.

Высота конуса (и пирамиды) по условию равна $H = 1$.

Ромб имеет две пары равных углов при вершинах. Одна пара — острые углы, другая — тупые. Следовательно, трехгранные углы при основании пирамиды также двух типов. Это означает, что мы должны найти два разных радиуса для вписанных шаров.

Введем систему координат с началом в центре основания $O$. Оси $Ox$ и $Oy$ направим вдоль диагоналей ромба. Тогда вершины основания имеют координаты: $A(4, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$, $C(-4, 0, 0)$, $D(0, -3, 0)$. Вершина пирамиды $S(0, 0, 1)$.

Уравнение боковой поверхности конуса имеет вид $x^2 + y^2 = k^2(H-z)^2$. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона образующей конуса к его высоте: $k = \frac{R}{H} = \frac{2.4}{1} = 2.4 = \frac{12}{5}$. Таким образом, уравнение конуса: $x^2 + y^2 = (\frac{12}{5})^2(1-z)^2$.

Шар, вписанный в трехгранный угол, касается трех граней этого угла (двух боковых граней пирамиды и плоскости основания). Центр такого шара равноудален от этих трех граней.

Найдем радиус шара, вписанного в трехгранный угол при вершине с острым углом (например, при вершине A).

Угол при вершине $A$ является острым, так как $\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{4} < 1$. Пусть $r_1$ — радиус искомого шара, а $O_1(x_1, y_1, z_1)$ — его центр. Центр шара лежит на биссектрисе двугранного угла между боковыми гранями $SAB$ и $SAD$, а также на биссектрисе угла $\angle DAB$ ромба. Эта биссектриса — диагональ $AC$, лежащая на оси $Ox$. Следовательно, $y_1=0$. Так как шар касается плоскости основания ($z=0$), его центр находится на высоте $r_1$, то есть $z_1 = r_1$. Итак, $O_1(x_1, 0, r_1)$.

Составим уравнение плоскости грани $SAB$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AB} = (-4, 3, 0)$ и $\vec{AS} = (-4, 0, 1)$. Нормаль к плоскости: $\vec{n}_{SAB} = \vec{AB} \times \vec{AS} = (3, 4, 12)$. Уравнение плоскости $SAB$: $3(x-4) + 4(y-0) + 12(z-0) = 0$, то есть $3x+4y+12z-12=0$. Расстояние от центра $O_1(x_1, 0, r_1)$ до этой плоскости равно радиусу $r_1$:$r_1 = \frac{|3x_1 + 4(0) + 12r_1 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}} = \frac{|3x_1 + 12r_1 - 12|}{13}$. Центр шара $O_1$ находится внутри пирамиды, на той же стороне от плоскости $SAB$, что и начало координат. Для точки $(0,0,0)$ выражение $3x+4y+12z-12$ равно $-12$. Значит, для $O_1$ оно тоже отрицательно.$13r_1 = -(3x_1 + 12r_1 - 12) = 12 - 3x_1 - 12r_1 \implies 25r_1 = 12 - 3x_1 \quad (1)$.

Шар также касается боковой поверхности конуса. Так как центр шара $O_1$ лежит в плоскости симметрии конуса $y=0$, задача о касании сводится к 2D-задаче в этой плоскости. Сечение конуса плоскостью $y=0$ — это пара прямых $x = \pm \frac{12}{5}(1-z)$. Сечение шара — окружность $(x-x_1)^2 + (z-r_1)^2 = r_1^2$. Центр шара $O_1$ находится вблизи вершины $A(4,0,0)$, то есть "снаружи" конуса. Поэтому шар касается ближайшей к нему образующей конуса, заданной уравнением $x = \frac{12}{5}(1-z)$, или $5x + 12z - 12 = 0$. Расстояние от центра окружности $(x_1, r_1)$ до этой прямой равно радиусу $r_1$:$r_1 = \frac{|5x_1 + 12r_1 - 12|}{\sqrt{5^2+12^2}} = \frac{|5x_1 + 12r_1 - 12|}{13}$. Так как центр шара находится "снаружи" конуса (где $x > \frac{12}{5}(1-z)$), выражение в модуле положительно.$13r_1 = 5x_1 + 12r_1 - 12 \implies r_1 = 5x_1 - 12 \quad (2)$.

Решим систему уравнений (1) и (2):Из (2) выразим $x_1 = \frac{r_1+12}{5}$ и подставим в (1):$25r_1 = 12 - 3\left(\frac{r_1+12}{5}\right)$$125r_1 = 60 - 3(r_1+12) = 60 - 3r_1 - 36$$128r_1 = 24$$r_1 = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $3/16$.

Найдем радиус шара, вписанного в трехгранный угол при вершине с тупым углом (например, при вершине B).

Угол при вершине $B$ является тупым, так как $\tan(\angle OBA) = \frac{OA}{OB} = \frac{4}{3} > 1$. Пусть $r_2$ — радиус этого шара, а $O_2(x_2, y_2, z_2)$ — его центр. Центр шара лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$ ромба — диагонали $BD$, лежащей на оси $Oy$. Следовательно, $x_2=0$. Так как шар касается плоскости основания, $z_2 = r_2$. Итак, $O_2(0, y_2, r_2)$.

Используем уравнение плоскости грани $SAB$: $3x+4y+12z-12=0$. Расстояние от центра $O_2(0, y_2, r_2)$ до этой плоскости равно $r_2$:$r_2 = \frac{|3(0) + 4y_2 + 12r_2 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}} = \frac{|4y_2 + 12r_2 - 12|}{13}$. Центр $O_2$ находится внутри пирамиды, поэтому выражение в модуле отрицательно.$13r_2 = -(4y_2 + 12r_2 - 12) = 12 - 4y_2 - 12r_2 \implies 25r_2 = 12 - 4y_2 \quad (3)$.

Касание конуса рассматриваем в плоскости симметрии $x=0$. Сечение конуса — пара прямых $y = \pm \frac{12}{5}(1-z)$. Шар касается образующей $y = \frac{12}{5}(1-z)$, или $5y+12z-12=0$. Расстояние от центра $(y_2, r_2)$ до этой прямой равно $r_2$:$r_2 = \frac{|5y_2 + 12r_2 - 12|}{\sqrt{5^2+12^2}} = \frac{|5y_2 + 12r_2 - 12|}{13}$. Центр шара находится "снаружи" конуса, поэтому выражение в модуле положительно.$13r_2 = 5y_2 + 12r_2 - 12 \implies r_2 = 5y_2 - 12 \quad (4)$.

Решим систему уравнений (3) и (4):Из (4) выразим $y_2 = \frac{r_2+12}{5}$ и подставим в (3):$25r_2 = 12 - 4\left(\frac{r_2+12}{5}\right)$$125r_2 = 60 - 4(r_2+12) = 60 - 4r_2 - 48$$129r_2 = 12$$r_2 = \frac{12}{129} = \frac{4}{43}$.

Ответ: $4/43$.