Номер 975, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

975. Вокруг шара с радиусом $R$ описан усеченный конус, одно из оснований которого вдвое больше другого. Найдите объем этого конуса.

Обозначим радиус шара через $R$. Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований усеченного конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая.

По условию, одно из оснований вдвое больше другого. Будем считать, что радиус одного основания вдвое больше радиуса другого: $r_1 = 2r_2$. Для удобства введем обозначение $r_2 = r$, тогда $r_1 = 2r$.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi H (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$.

Поскольку усеченный конус описан вокруг шара, шар касается верхнего и нижнего оснований конуса. Это означает, что высота конуса $H$ равна диаметру шара: $H = 2R$.

Подставим $H = 2R$, $r_1 = 2r$ и $r_2 = r$ в формулу объема: $V = \frac{1}{3}\pi (2R) ((2r)^2 + (2r)r + r^2) = \frac{2\pi R}{3} (4r^2 + 2r^2 + r^2) = \frac{2\pi R}{3} (7r^2) = \frac{14\pi R r^2}{3}$.

Теперь нам нужно найти $r^2$ через $R$. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$.

Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса: $2r_1 = 4r$ и $2r_2 = 2r$. Высота трапеции равна высоте конуса $H = 2R$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $L$.

Для трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. $2r_1 + 2r_2 = L + L$ $4r + 2r = 2L$ $6r = 2L$ $L = 3r$.

Проведем в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $L$, а катетами — высота $H$ и разность радиусов оснований $(r_1 - r_2)$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$.

Подставим известные нам соотношения: $L = 3r$, $H = 2R$, $r_1 - r_2 = 2r - r = r$. $(3r)^2 = (2R)^2 + r^2$ $9r^2 = 4R^2 + r^2$ $8r^2 = 4R^2$ $r^2 = \frac{4R^2}{8} = \frac{R^2}{2}$.

Наконец, подставим найденное выражение для $r^2$ в формулу для объема: $V = \frac{14\pi R r^2}{3} = \frac{14\pi R}{3} \cdot \frac{R^2}{2} = \frac{14\pi R^3}{6} = \frac{7\pi R^3}{3}$.

Ответ: $V = \frac{7}{3}\pi R^3$.