Номер 968, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

968. В тетраэдре $ABCD$ все плоские углы при вершине $D$ прямые. Докажите, что треугольник $ABC$ остроугольный.

По условию, в тетраэдре $ABCD$ все плоские углы при вершине $D$ прямые. Это означает, что $\angle ADB = \angle BDC = \angle ADC = 90^\circ$. Следовательно, ребра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны.

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является остроугольным, необходимо показать, что все его углы ( $\angle BAC$, $\angle ABC$ и $\angle ACB$ ) являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.

Воспользуемся следствием из теоремы косинусов: угол треугольника является острым тогда и только тогда, когда сумма квадратов прилежащих к нему сторон больше квадрата противолежащей стороны. Таким образом, нам нужно доказать выполнение следующих трех неравенств:
1) $AB^2 + AC^2 > BC^2$ (для угла $\angle BAC$)
2) $AB^2 + BC^2 > AC^2$ (для угла $\angle ABC$)
3) $AC^2 + BC^2 > AB^2$ (для угла $\angle ACB$)

Рассмотрим три прямоугольных треугольника с общей вершиной $D$: $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle ADC$. Обозначим длины ребер, выходящих из вершины $D$, как $DA = a$, $DB = b$ и $DC = c$.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, чтобы выразить квадраты сторон треугольника $ABC$:
Из $\triangle ADB$: $AB^2 = DA^2 + DB^2 = a^2 + b^2$
Из $\triangle BDC$: $BC^2 = DB^2 + DC^2 = b^2 + c^2$
Из $\triangle ADC$: $AC^2 = DA^2 + DC^2 = a^2 + c^2$

Теперь проверим выполнение неравенств:

1) Для угла $\angle BAC$. Проверим неравенство $AB^2 + AC^2 > BC^2$:
$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) > b^2 + c^2$
$2a^2 + b^2 + c^2 > b^2 + c^2$
$2a^2 > 0$
Поскольку $a$ является длиной ребра, $a > 0$, следовательно, $2a^2 > 0$. Неравенство верно, значит, $\angle BAC$ — острый.

2) Для угла $\angle ABC$. Проверим неравенство $AB^2 + BC^2 > AC^2$:
$(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) > a^2 + c^2$
$a^2 + 2b^2 + c^2 > a^2 + c^2$
$2b^2 > 0$
Поскольку $b$ является длиной ребра, $b > 0$, следовательно, $2b^2 > 0$. Неравенство верно, значит, $\angle ABC$ — острый.

3) Для угла $\angle ACB$. Проверим неравенство $AC^2 + BC^2 > AB^2$:
$(a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) > a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 + 2c^2 > a^2 + b^2$
$2c^2 > 0$
Поскольку $c$ является длиной ребра, $c > 0$, следовательно, $2c^2 > 0$. Неравенство верно, значит, $\angle ACB$ — острый.

Так как все три угла треугольника $ABC$ являются острыми, то треугольник $ABC$ — остроугольный, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является остроугольным, так как косинус каждого его угла положителен. Например, для угла при вершине $A$ имеем $\cos A = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 AB \cdot AC} = \frac{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)-(b^2+c^2)}{2 AB \cdot AC} = \frac{2a^2}{2 AB \cdot AC} > 0$. Аналогично для других углов.