Номер 966, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

966. Точка $M$ находится вне плоскости треугольника на одинаковых расстояниях от его вершин. Установите взаимное расположение треугольника и проекции точки $M$ на его плоскость (рис. 305), учитывая, что этот треугольник:

а) прямоугольный;

б) остроугольный;

в) тупоугольный.

Рис. 305

Пусть дан треугольник $ABC$ и точка $M$, не лежащая в его плоскости. По условию, точка $M$ находится на одинаковых расстояниях от вершин треугольника, то есть $MA = MB = MC$.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости треугольника. Следовательно, треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $O$).

В этих прямоугольных треугольниках катет $MO$ является общим, а гипотенузы $MA$, $MB$ и $MC$ равны по условию. Из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету следует равенство других катетов: $OA = OB = OC$.

Равенство $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$. Точка в плоскости треугольника, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около этого треугольника окружности.

Таким образом, проекция точки $M$ на плоскость треугольника является центром описанной около него окружности. Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.

а) прямоугольный

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине его гипотенузы. Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.

Ответ: Проекция точки $M$ на плоскость треугольника является серединой гипотенузы этого треугольника.

б) остроугольный

Для остроугольного треугольника центр описанной окружности находится внутри треугольника. Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость остроугольного треугольника лежит внутри этого треугольника.

Ответ: Проекция точки $M$ на плоскость треугольника лежит внутри этого треугольника.

в) тупоугольный

Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности находится вне треугольника. Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость тупоугольного треугольника лежит вне этого треугольника.

Ответ: Проекция точки $M$ на плоскость треугольника лежит вне этого треугольника.