Номер 972, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

972. Докажите, что если в треугольной пирамиде $SABC$ двугранные углы $BSAC$ и $ASBC$ равны, то равны и плоские углы $BSC$ и $ASC$.

Пусть в треугольной пирамиде SABC даны равные двугранные углы при ребрах SA и SB. Обозначим двугранный угол при ребре SA (между плоскостями (SAB) и (SAC)) как $\alpha$, а двугранный угол при ребре SB (между плоскостями (SAB) и (SBC)) как $\beta$. По условию, $\alpha = \beta$. Требуется доказать, что плоские углы $\angle BSC$ и $\angle ASC$ равны.

Доказательство:

1. Выполним дополнительные построения. Из вершины C опустим перпендикуляр CH на плоскость основания (SAB). Точка H — проекция точки C на эту плоскость.

2. Из точки H опустим перпендикуляры HM на ребро SA и HK на ребро SB. Таким образом, по построению имеем $CH \perp (SAB)$, $HM \perp SA$ и $HK \perp SB$.

3. Применим теорему о трех перпендикулярах.

• Поскольку CH — перпендикуляр к плоскости (SAB), а HM — перпендикуляр к прямой SA, лежащей в этой плоскости, то наклонная CM также перпендикулярна прямой SA. То есть, $CM \perp SA$.
• Аналогично, поскольку CH — перпендикуляр к плоскости (SAB), а HK — перпендикуляр к прямой SB, лежащей в этой плоскости, то наклонная CK также перпендикулярна прямой SB. То есть, $CK \perp SB$.

4. По определению линейного угла двугранного угла:

• Угол $\angle CMH$ является линейным углом двугранного угла при ребре SA, так как $CM \perp SA$ и $HM \perp SA$. Следовательно, $\angle CMH = \alpha$.
• Угол $\angle CKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре SB, так как $CK \perp SB$ и $HK \perp SB$. Следовательно, $\angle CKH = \beta$.

5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CHM$ и $\triangle CHK$. Они являются прямоугольными, так как $CH \perp (SAB)$, а значит, CH перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H. Следовательно, $\angle CHM = \angle CHK = 90^\circ$.

• Катет CH является общим для обоих треугольников.
• По условию задачи $\alpha = \beta$, значит $\angle CMH = \angle CKH$.
• Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $CM = \frac{CH}{\sin(\angle CMH)}$ и $CK = \frac{CH}{\sin(\angle CKH)}$.
• Так как $\angle CMH = \angle CKH$, то $\sin(\angle CMH) = \sin(\angle CKH)$. Отсюда следует, что $CM = CK$.

6. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SCM$ (прямой угол при M, так как $CM \perp SA$) и $\triangle SCK$ (прямой угол при K, так как $CK \perp SB$).

• Гипотенуза SC является общей для обоих треугольников.
• Катеты CM и CK равны, что было доказано в предыдущем пункте ($CM = CK$).
• Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle SCM$ и $\triangle SCK$ равны по гипотенузе и катету.

7. Из равенства треугольников $\triangle SCM \cong \triangle SCK$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle CSM = \angle CSK$.

• Угол $\angle CSM$ — это угол между прямыми SC и SM (часть прямой SA), то есть $\angle CSM = \angle ASC$.
• Угол $\angle CSK$ — это угол между прямыми SC и SK (часть прямой SB), то есть $\angle CSK = \angle BSC$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle ASC = \angle BSC$.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство двугранных углов при ребрах SA и SB в пирамиде SABC влечет за собой равенство плоских углов $\angle ASC$ и $\angle BSC$.