Номер 974, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

974. В конус с высотой $h$ и образующей $b$ вписан шар. Найдите радиус шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса $h$, а боковые стороны равны образующей конуса $b$. Сечение вписанного шара является большим кругом этого шара, и этот круг вписан в упомянутый равнобедренный треугольник. Радиус этого круга, который мы обозначим как $r$, является искомым радиусом шара.

Пусть $R$ — это радиус основания конуса. В осевом сечении высота конуса $h$, радиус основания $R$ и образующая $b$ образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение:

$b^2 = h^2 + R^2$

Из этого уравнения мы можем выразить радиус основания $R$ через $h$ и $b$:

$R = \sqrt{b^2 - h^2}$

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник, можно найти, используя формулу, которая связывает площадь треугольника $S$, его полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$. Отсюда следует, что $r = \frac{S}{p}$.

Теперь найдем площадь и полупериметр равнобедренного треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса, то есть $2R$. Высота треугольника равна $h$. Площадь треугольника $S$ вычисляется как:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = R \cdot h$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин его сторон:

$P = b + b + 2R = 2b + 2R$

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{2b + 2R}{2} = b + R$

Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем найти радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{R \cdot h}{b + R}$

Для того чтобы получить ответ, выраженный только через $h$ и $b$, подставим в полученную формулу выражение для $R = \sqrt{b^2 - h^2}$:

$r = \frac{h \cdot \sqrt{b^2 - h^2}}{b + \sqrt{b^2 - h^2}}$

Ответ: $r = \frac{h \sqrt{b^2 - h^2}}{b + \sqrt{b^2 - h^2}}$