Номер 977, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

977. Образующая усеченного конуса равна 4 дм, радиусы оснований равны 1 дм и 3 дм. Найдите радиус шара, описанного около усеченного конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ и $r$, где $R=3$ дм и $r=1$ дм, а образующую как $l=4$ дм. Шар, описанный около усеченного конуса, содержит окружности обоих оснований конуса на своей поверхности. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанного шара. Сечением конуса является равнобокая трапеция, а сечением шара — большой круг, который является описанной окружностью для этой трапеции. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около равнобокой трапеции.

Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса: $a = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ дм и $b = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ дм. Боковая сторона трапеции равна образующей конуса: $l=4$ дм.

Найдем высоту трапеции $h$. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $l$ и катетами $h$ и $(R-r)$. По теореме Пифагора: $h^2 = l^2 - (R-r)^2 = 4^2 - (3-1)^2 = 16 - 2^2 = 16 - 4 = 12$ дм$^2$. Отсюда высота $h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ дм.

Радиус искомого шара $R_{ш}$ равен радиусу окружности, описанной около трапеции. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции.

Найдем длину диагонали трапеции $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и отрезком на большем основании, равным $(R+r)$. По теореме Пифагора: $d^2 = h^2 + (R+r)^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3+1)^2 = 12 + 4^2 = 12 + 16 = 28$ дм$^2$. Следовательно, диагональ $d = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ дм.

Теперь рассмотрим треугольник со сторонами $l=4$ дм, $a=6$ дм и $d=2\sqrt{7}$ дм. Найдем радиус описанной около него окружности ($R_{ш}$) по формуле $R_{ш} = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S}$, где $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь этого треугольника можно найти, зная его основание $a=6$ дм и высоту $h=2\sqrt{3}$ дм: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ дм$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности: $R_{ш} = \frac{l \cdot a \cdot d}{4S} = \frac{4 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{7}}{4 \cdot 6\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{7}}{24\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $R_{ш} = \frac{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$ дм.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{3}$ дм.