Номер 983, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

983. На плоскости $P$ стоит равносторонний конус с высотой $h$. Каждый из трех равных шаров касается двух других, плоскости $P$ и боковой поверхности конуса. Найдите радиусы шаров.

Обозначим искомый радиус шаров как $r$.

1. Анализ геометрии равностороннего конуса

Равносторонний конус — это конус, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником. Пусть $h$ — высота конуса, $R$ — радиус основания, $l$ — длина образующей. В равностороннем конусе образующая равна диаметру основания, то есть $l = 2R$.

Связь между высотой, радиусом основания и образующей задается теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: $h^2 + R^2 = l^2$.

Подставим $l=2R$: $h^2 + R^2 = (2R)^2 = 4R^2$ $h^2 = 3R^2$ Отсюда находим радиус основания конуса через его высоту: $R = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Также важно отметить, что в осевом сечении (равностороннем треугольнике) все углы равны $60^\circ$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $60^\circ$. Угол между высотой (осью) конуса и образующей равен половине угла при вершине, то есть $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

2. Анализ расположения шаров

Три одинаковых шара радиуса $r$ касаются плоскости $P$ и друг друга.

Поскольку шары касаются плоскости $P$, их центры ($O_1, O_2, O_3$) находятся на высоте $r$ над этой плоскостью.

Так как шары касаются друг друга, расстояние между центрами любых двух шаров равно $2r$.

Проекции центров шаров на плоскость $P$ ($O'_1, O'_2, O'_3$) образуют равносторонний треугольник со стороной $2r$.

Из соображений симметрии, центр этого треугольника совпадает с центром основания конуса. Расстояние от центра основания конуса до проекции центра любого из шаров равно радиусу описанной окружности для треугольника $O'_1O'_2O'_3$. Обозначим это расстояние $d$. Для равностороннего треугольника со стороной $a=2r$ радиус описанной окружности равен: $d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

3. Нахождение радиуса шаров

Рассмотрим вертикальное сечение, проходящее через ось конуса и центр одного из шаров (например, $O_1$).

В этом сечении конус представлен равносторонним треугольником, а шар — окружностью радиуса $r$. Эта окружность касается прямой, представляющей плоскость основания $P$, и прямой, представляющей образующую конуса.

Центр окружности $O_1$ находится на расстоянии $r$ от прямой-основания и на расстоянии $d = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ от оси конуса.

Поскольку окружность касается двух прямых (основания и образующей), ее центр должен лежать на биссектрисе угла между ними. Угол между образующей и основанием равен $60^\circ$. Следовательно, биссектриса составляет с основанием угол $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O_1$, его проекцией на плоскость основания и точкой пересечения образующей с основанием. Горизонтальный катет этого треугольника равен $R - d$, а вертикальный катет равен $r$. Угол при основании равен $30^\circ$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{R-d}$

Подставим известные значения $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $d = \frac{2r}{\sqrt{3}}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{R - \frac{2r}{\sqrt{3}}}$

Решим это уравнение относительно $r$: $R - \frac{2r}{\sqrt{3}} = r\sqrt{3}$ $R = r\sqrt{3} + \frac{2r}{\sqrt{3}}$ $R = r \left( \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$ $R = r \left( \frac{3+2}{\sqrt{3}} \right)$ $R = r \frac{5}{\sqrt{3}}$

Отсюда выражаем $r$ через $R$: $r = R \frac{\sqrt{3}}{5}$

4. Выражение радиуса через высоту конуса $h$

Из первого пункта мы знаем, что $R = \frac{h}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в формулу для $r$: $r = \left( \frac{h}{\sqrt{3}} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}$ $r = \frac{h}{5}$

Ответ: $r = \frac{h}{5}$