Номер 981, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

981. Два шара с радиусом $r$ касаются друг друга; $n$ шаров с радиусом $x$, центры которых являются вершинами правильного $n$-угольника со стороной $2x$, касаются обоих шаров с радиусом $r$. Найдите $x$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центры двух больших шаров с радиусом $r$ расположены на оси $Ox$. Так как эти шары касаются друг друга, расстояние между их центрами равно $r+r=2r$. Поместим точку их касания в начало координат $O(0, 0, 0)$. Тогда центры больших шаров будут находиться в точках $O_1(-r, 0, 0)$ и $O_2(r, 0, 0)$.

Пусть $C_1, C_2, \ldots, C_n$ — центры $n$ малых шаров радиусом $x$. По условию, каждый из этих $n$ шаров касается обоих больших шаров. Это означает, что расстояние от центра любого малого шара $C_i$ до центра каждого из больших шаров ($O_1$ и $O_2$) одинаково и равно сумме их радиусов, то есть $r+x$. Таким образом, для любого $i=1, \ldots, n$ выполняется условие:

$|C_iO_1| = |C_iO_2| = r+x$

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек ($O_1$ и $O_2$), представляет собой плоскость, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. В нашей системе координат середина отрезка $O_1O_2$ — это начало координат $O(0, 0, 0)$, а перпендикулярная плоскость — это плоскость $yOz$ (задается уравнением $x=0$). Следовательно, все центры $C_i$ малых шаров лежат в этой плоскости.

По условию, центры $C_1, C_2, \ldots, C_n$ являются вершинами правильного $n$-угольника. Так как все они лежат в плоскости $yOz$, этот $n$-угольник расположен в ней. Из соображений симметрии, центр этого $n$-угольника должен лежать на оси $Ox$. Единственная точка, принадлежащая одновременно и плоскости $yOz$, и оси $Ox$, — это начало координат $O(0, 0, 0)$. Таким образом, центры малых шаров образуют правильный $n$-угольник в плоскости $yOz$ с центром в начале координат.

Сторона этого $n$-угольника по условию равна $2x$. Это согласуется с тем, что соседние малые шары касаются друг друга (расстояние между их центрами равно $x+x=2x$).

Найдем радиус $R$ описанной окружности этого $n$-угольника, то есть расстояние от его центра $O$ до любой из вершин $C_i$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OC_iC_{i+1}$, где $O$ — центр, а $C_i$ и $C_{i+1}$ — две соседние вершины. Боковые стороны равны $R$ ($OC_i = OC_{i+1} = R$), а основание равно $2x$ ($C_iC_{i+1} = 2x$). Угол при вершине $O$ равен $\angle C_iOC_{i+1} = \frac{2\pi}{n}$. Высота, опущенная из $O$ на основание $C_iC_{i+1}$, делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R$, катет, противолежащий углу $\frac{\pi}{n}$, равен $x$. Отсюда получаем соотношение:

$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{x}{R} \implies R = \frac{x}{\sin(\pi/n)}$

Теперь используем условие касания малого шара (например, с центром в $C_1$) и большого шара (с центром в $O_1$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1OC_1$, в котором $\angle O_1OC_1 = 90^\circ$, так как $O_1$ лежит на оси $Ox$, а $C_1$ — в плоскости $yOz$. Катеты этого треугольника равны $|O_1O| = r$ и $|OC_1| = R$. Гипотенуза $|O_1C_1|$ — это расстояние между центрами касающихся шаров, которое равно $r+x$.

По теореме Пифагора:

$|O_1C_1|^2 = |O_1O|^2 + |OC_1|^2$

$(r+x)^2 = r^2 + R^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r^2 + 2rx + x^2 = r^2 + R^2$

$2rx + x^2 = R^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $R$:

$2rx + x^2 = \left(\frac{x}{\sin(\pi/n)}\right)^2 = \frac{x^2}{\sin^2(\pi/n)}$

Так как $x>0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$2r + x = \frac{x}{\sin^2(\pi/n)}$

Теперь выразим $x$:

$2r = \frac{x}{\sin^2(\pi/n)} - x = x \left( \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - 1 \right)$

$2r = x \left( \frac{1 - \sin^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} \right)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$2r = x \frac{\cos^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = x \cdot \cot^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Окончательно находим $x$:

$x = \frac{2r}{\cot^2(\pi/n)} = 2r \cdot \tan^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Ответ: $x = 2r \tan^2\left(\frac{\pi}{n}\right)$.