Номер 979, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

979. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, у которой основанием является треугольник со сторонами 13, 14 и 15, а вершина отстоит от каждой из них на 5.

Для нахождения радиуса вписанного шара $r$ используется формула $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности.

Сначала найдем характеристики основания пирамиды. Основанием является треугольник со сторонами $a=13$, $b=14$, $c=15$. Вычислим его площадь $S_{осн}$ по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Площадь основания:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

В условии сказано, что вершина пирамиды отстоит от каждой из сторон основания на 5. Это означает, что высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды (апофемы), равны $l=5$. Если апофемы пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Следовательно, высота пирамиды $H$ падает в инцентр треугольника-основания.

Радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$ найдем по формуле:

$r_{осн} = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{84}{21} = 4$.

Высоту пирамиды $H$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются $H$ и $r_{осн}$, а гипотенузой — апофема $l$. По теореме Пифагора:

$H^2 + r_{осн}^2 = l^2$

$H^2 + 4^2 = 5^2$

$H = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь вычислим объем пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 3 = 84$.

Далее найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$. Она равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности равна произведению полупериметра основания на апофему:

$S_{бок} = p \cdot l = 21 \cdot 5 = 105$.

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 84 + 105 = 189$.

Наконец, подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанного шара:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 84}{189} = \frac{252}{189}$.

Сократим полученную дробь. Разделив числитель и знаменатель на 63, получим:

$r = \frac{252 : 63}{189 : 63} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.