Номер 973, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

973. Точка $P$ не лежит в плоскости $\alpha$. Определите, какую фигуру образуют точки, являющиеся основаниями перпендикуляров, проведенных из точки $P$ ко всем прямым, проходящим в плоскости $\alpha$ через данную точку $Q$ (рис. 306).

Рис. 306

Пусть $O$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$. Таким образом, $PO \perp \alpha$, и точка $O$ является проекцией точки $P$ на плоскость $\alpha$.

Пусть $l$ — произвольная прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку $Q$. Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую $l$. По определению, точка $M$ лежит на прямой $l$ и $PM \perp l$. Нам необходимо найти геометрическое место всех таких точек $M$.

Рассмотрим отрезок $PM$ как наклонную к плоскости $\alpha$. Отрезок $OM$ является проекцией этой наклонной на плоскость $\alpha$. По условию, наклонная $PM$ перпендикулярна прямой $l$, лежащей в плоскости $\alpha$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и ее проекция на эту плоскость перпендикулярна той же прямой.

Следовательно, проекция $OM$ перпендикулярна прямой $l$ ($OM \perp l$).

Поскольку точки $Q$ и $M$ принадлежат прямой $l$, то условие $OM \perp l$ означает, что угол между отрезком $OM$ и прямой, на которой лежит отрезок $QM$, является прямым. Таким образом, $\angle OMQ = 90^\circ$.

Это означает, что все искомые точки $M$ лежат в плоскости $\alpha$ и таковы, что треугольник $OMQ$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. Геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом, есть окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре. В нашем случае таким отрезком является $OQ$.

Если точка $Q$ совпадает с точкой $O$ (т.е. $PQ \perp \alpha$), то отрезок $OQ$ вырождается в точку, и окружность также вырождается в точку $Q$. В этом случае, для любой прямой $l$, проходящей через $Q$, перпендикуляром из $P$ на $l$ будет сам отрезок $PQ$, а его основанием — точка $Q$.

Ответ: Окружность, построенная на отрезке $OQ$ как на диаметре, где $O$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$.