Номер 976, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

976. На линии центров двух шаров находится точечный источник света. При этом большой шар касается конуса тени, образуемой меньшим шаром (рис. 307). Учитывая, что радиус меньшего шара равен $r$, радиус большего шара — $R$ и расстояние между центрами шаров — $d$, найдите:

Рис. 307

а) расстояние от источника света до центра меньшего шара;

б) площадь освещенной части поверхности меньшего шара.

а) расстояние от источника света до центра меньшего шара

Рассмотрим осевое сечение системы, проходящее через точечный источник света $S$ и центры шаров $O_1$ (меньшего) и $O_2$ (большего). В сечении получим два круга с радиусами $r$ и $R$ и точку $S$, лежащие на одной прямой.

По условию, больший шар касается конуса тени, образуемого меньшим шаром. В нашем осевом сечении это означает, что образующая конуса является общей касательной к двум окружностям, и эта касательная проходит через источник света $S$.

Пусть $x$ — искомое расстояние от источника света до центра меньшего шара, то есть $SO_1 = x$. Расстояние между центрами шаров $O_1O_2 = d$. Тогда расстояние от источника света до центра большего шара будет $SO_2 = SO_1 + O_1O_2 = x + d$.

Проведем общую касательную из точки $S$ к окружностям. Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания на меньшей и большей окружностях соответственно. Проведем радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ в точки касания. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Следовательно, треугольники $\triangle SO_1T_1$ и $\triangle SO_2T_2$ — прямоугольные (с прямыми углами при вершинах $T_1$ и $T_2$ соответственно).

Эти два треугольника подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{O_1T_1}{O_2T_2} = \frac{SO_1}{SO_2} $

Подставим известные величины: $O_1T_1 = r$, $O_2T_2 = R$, $SO_1 = x$, $SO_2 = x + d$.$ \frac{r}{R} = \frac{x}{x+d} $

Решим это уравнение относительно $x$:$ r(x+d) = R \cdot x $$ rx + rd = Rx $$ rd = Rx - rx $$ rd = x(R-r) $$ x = \frac{rd}{R-r} $

Ответ: $\frac{rd}{R-r}$

б) площадь освещенной части поверхности меньшего шара

Освещенная часть поверхности шара представляет собой сферический сегмент (или "шапочку"). Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi r_ш h$, где $r_ш$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента. В нашем случае радиус шара равен $r$.

Границей между освещенной и теневой частями шара является окружность, все точки которой являются точками касания лучей света, исходящих из источника $S$. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров $SO_1$.

Рассмотрим снова прямоугольный треугольник $\triangle SO_1T_1$ из пункта а). $SO_1$ — гипотенуза длиной $x$, $O_1T_1$ — катет длиной $r$. Высота сферического сегмента $h$ — это расстояние вдоль оси $SO_1$ от поверхности шара до плоскости, в которой лежит окружность касания.

Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с осью $SO_1$. Тогда высота сегмента $h = r - O_1P$. Для нахождения длины отрезка $O_1P$ (проекции катета $O_1T_1$ на гипотенузу $SO_1$) воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.$ O_1T_1^2 = SO_1 \cdot O_1P $

Подставляя известные значения, получаем:$ r^2 = x \cdot O_1P $Отсюда находим $O_1P$:$ O_1P = \frac{r^2}{x} $

Теперь можем найти высоту сегмента $h$:$ h = r - O_1P = r - \frac{r^2}{x} = r(1 - \frac{r}{x}) $

Из пункта а) мы знаем, что $x = \frac{rd}{R-r}$. Найдем отношение $\frac{r}{x}$:$ \frac{r}{x} = \frac{r}{\frac{rd}{R-r}} = \frac{r(R-r)}{rd} = \frac{R-r}{d} $

Подставим это выражение в формулу для высоты $h$:$ h = r \left( 1 - \frac{R-r}{d} \right) = r \frac{d - (R-r)}{d} = r \frac{d - R + r}{d} $

Наконец, вычислим площадь освещенной поверхности $S_{осв}$:$ S_{осв} = 2\pi r h = 2\pi r \left( r \frac{d - R + r}{d} \right) = 2\pi r^2 \frac{d - R + r}{d} $

Ответ: $2\pi r^2 \frac{d - R + r}{d}$