Номер 971, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

971. Можно ли утверждать, что в тетраэдре $ABCD$ каждый из двугранных углов с ребрами $AB, AC$ и $AD$ меньше суммы двух других?

Нет, это утверждать нельзя. Указанное свойство, аналогичное неравенству треугольника для сторон, для двугранных углов при одной вершине тетраэдра в общем случае не выполняется. Покажем это на контрпримере.

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$ и три двугранных угла, сходящихся в вершине $A$: двугранный угол при ребре $AB$ (между гранями $ABC$ и $ABD$), при ребре $AC$ (между гранями $ABC$ и $ACD$) и при ребре $AD$ (между гранями $ABD$ и $ACD$). Обозначим величины этих углов соответственно $\alpha_{AB}, \alpha_{AC}, \alpha_{AD}$.

Эти три двугранных угла являются двугранными углами трехгранного угла с вершиной $A$. Их величины равны углам некоторого сферического треугольника. Если мы пересечем трехгранный угол $A$ сферой единичного радиуса с центром в точке $A$, то на сфере образуется сферический треугольник. Углы этого сферического треугольника будут равны $\alpha_{AB}, \alpha_{AC}, \alpha_{AD}$, а стороны — плоским углам при вершине $A$ ($\angle BAC, \angle CAD, \angle DAB$).

Таким образом, вопрос сводится к следующему: верно ли, что для любого сферического треугольника каждый его угол меньше суммы двух других? Ответ на этот вопрос — отрицательный. Можно построить сферический треугольник, для которого это свойство не выполняется.

Рассмотрим равнобедренный сферический треугольник с углами $A, B, C$, где $B=C$, и сторонами $a, b, c$, где $b=c$. Существует соотношение, связывающее углы и стороны такого треугольника:

$\cot B = \tan\frac{A}{2} \cos c$

Мы хотим построить треугольник, в котором нарушается неравенство $A < B+C$, то есть выполняется $A \ge B+C = 2B$. Поскольку для невырожденного треугольника углы $A/2$ и $B$ острые, неравенство $A/2 \ge B$ эквивалентно неравенству $\tan(A/2) \ge \tan B$. Выражая $\tan B$ из формулы выше, получаем:

$\tan B = \frac{1}{\cot B} = \frac{\cot(A/2)}{\cos c}$

Таким образом, условие $A \ge 2B$ сводится к:

$\tan\frac{A}{2} \ge \frac{\cot(A/2)}{\cos c}$

$\tan^2\frac{A}{2} \ge \frac{1}{\cos c}$

Это неравенство вполне может выполняться. Для этого можно взять сторону $c$ (то есть плоский угол трехгранного угла) очень маленькой, так что $\cos c \approx 1$. А угол $A$ (соответствующий двугранный угол) выбрать достаточно большим, например, близким к $\pi$ ($180^\circ$), чтобы $\tan(A/2)$ был большим.

Пример.Пусть двугранный угол при ребре $AD$ равен $A = 170^\circ$. Пусть плоские углы $\angle DAB = \angle DAC = c = 0.1$ радиана (около $5.7^\circ$). Тогда $\cos c = \cos(0.1) \approx 0.995$. Угол $A/2 = 85^\circ$, и $\tan(85^\circ) \approx 11.43$. Проверим неравенство:$\tan^2(85^\circ) \ge \frac{1}{\cos(0.1)}$$(11.43)^2 \ge \frac{1}{0.995}$$130.6 \ge 1.005$Неравенство выполняется. Это означает, что $A > 2B = B+C$.

Найдем величину углов $B$ и $C$:$\cot B = \tan(85^\circ) \cos(0.1) \approx 11.43 \times 0.995 \approx 11.37$$B = \text{arcctg}(11.37) \approx 5.03^\circ$. Таким образом, мы построили трехгранный угол, двугранные углы которого примерно равны $170^\circ$, $5.03^\circ$ и $5.03^\circ$. Для них неравенство треугольника не выполняется:$170^\circ > 5.03^\circ + 5.03^\circ = 10.06^\circ$.

Такой трехгранный угол может быть углом тетраэдра при вершине. Следовательно, утверждать, что каждый из двугранных углов меньше суммы двух других, нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.