Номер 985, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

985. Найдите радиус шара, вписанного в четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см, учитывая, что высота:

а) имеет длину 1 см и проходит через центр ромба;

б) имеет длину 1,8 см и проходит через вершину острого угла ромба;

в) имеет длину 4,5 см и проходит через вершину тупого угла ромба.

Сначала найдём характеристики основания пирамиды — ромба.
Диагонали ромба $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.
Площадь ромба: $S_{осн} = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.
Сторона ромба $a$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей:$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ см.
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба. Высоту ромба $h_{ромба}$ можно найти через площадь: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$, откуда $h_{ромба} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.
Радиус вписанной в основание окружности: $r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4$ см. Этот радиус представляет собой расстояние от центра ромба до любой из его сторон.

а) имеет длину 1 см и проходит через центр ромба;

В этом случае пирамида является правильной, так как её высота проходит через центр вписанной в основание окружности. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды.
Радиус вписанного шара $r$ можно найти, рассмотрев осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту пирамиды $H$ и апофему боковой грани $h_{a}$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r_{осн}$ и высотой $H$. Вписанная в этот треугольник окружность является большим кругом вписанного шара, и её радиус равен радиусу шара $r$.
Высота пирамиды $H = 1$ см.
Радиус вписанной в основание окружности $r_{осн} = 2.4$ см.
Найдём апофему $h_{a}$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном $H$ и $r_{осн}$:$h_{a} = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2} = \sqrt{1^2 + (2.4)^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6$ см.
Рассмотрим треугольник осевого сечения. Его стороны равны $h_a=2.6$ см, $h_a=2.6$ см и основание $2r_{осн} = 2 \cdot 2.4 = 4.8$ см.
Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.
Площадь треугольника сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r_{осн}) \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot 1 = 2.4$ см$^2$.
Полупериметр: $p_{сеч} = \frac{2.6 + 2.6 + 4.8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Радиус вписанного шара: $r = \frac{S_{сеч}}{p_{сеч}} = \frac{2.4}{5} = 0.48$ см.
Ответ: $0.48$ см.

б) имеет длину 1,8 см и проходит через вершину острого угла ромба;

Если высота пирамиды проходит через вершину основания, в общем случае вписать шар невозможно. Однако, если у пирамиды есть плоскость симметрии, проходящая через высоту, то шар вписать можно. Ромб симметричен относительно своих диагоналей. Высота, проходящая через вершину, лежит в плоскости, содержащей одну из диагоналей. Эта плоскость будет плоскостью симметрии для всей пирамиды.
Введём систему координат с центром в точке пересечения диагоналей $O(0,0)$. Большая диагональ (8 см) соединяет острые углы, меньшая (6 см) — тупые. Пусть вершины ромба имеют координаты: $A(4,0), C(-4,0)$ (острые углы), $B(0,3), D(0,-3)$ (тупые углы).
Высота $H=1.8$ см проходит через вершину острого угла, например $A$. Тогда вершина пирамиды $S(4,0,1.8)$.
Пирамида симметрична относительно плоскости $y=0$. Центр вписанного шара $I$ лежит в этой плоскости, его координаты $I(x_I, 0, r)$, где $r$ — радиус шара.
Расстояние от центра $I$ до плоскости основания ($z=0$) равно $r$. Расстояние до каждой боковой грани также должно быть равно $r$.
Рассмотрим грань $SAB$. Её вершинами являются $S(4,0,1.8), A(4,0,0), B(0,3,0)$. Уравнение плоскости этой грани: $3x+4y-12=0$.
Рассмотрим грань $SBC$. Её вершинами являются $S(4,0,1.8), B(0,3,0), C(-4,0,0)$. Уравнение плоскости этой грани: $9x-12y-40z+36=0$.
Расстояние от точки $I(x_I, 0, r)$ до плоскости $SAB$ равно $r$:
$\frac{|3x_I + 4 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} = r \Rightarrow \frac{|3x_I - 12|}{5} = r$. Так как центр шара находится внутри пирамиды, $3x_I-12<0$, поэтому $r = \frac{12-3x_I}{5}$.
Расстояние от точки $I(x_I, 0, r)$ до плоскости $SBC$ равно $r$:
$\frac{|9x_I - 12 \cdot 0 - 40r + 36|}{\sqrt{9^2+(-12)^2+(-40)^2}} = r \Rightarrow \frac{|9x_I - 40r + 36|}{\sqrt{1825}} = r$. Внутри пирамиды $9x_I-40r+36 > 0$, поэтому $r = \frac{9x_I-40r+36}{5\sqrt{73}}$.
Получаем систему двух уравнений с $x_I$ и $r$:
1) $5r = 12-3x_I \Rightarrow 3x_I = 12-5r$
2) $5\sqrt{73}r = 9x_I-40r+36$
Подставляем $3x_I$ во второе уравнение (умноженное на 3): $9x_I = 3(12-5r) = 36-15r$.
$5\sqrt{73}r = (36-15r)-40r+36 \Rightarrow 5\sqrt{73}r = 72-55r$.
$r(55+5\sqrt{73})=72 \Rightarrow r = \frac{72}{55+5\sqrt{73}} = \frac{72}{5(11+\sqrt{73})}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(11-\sqrt{73})$:
$r = \frac{72(11-\sqrt{73})}{5(11+\sqrt{73})(11-\sqrt{73})} = \frac{72(11-\sqrt{73})}{5(121-73)} = \frac{72(11-\sqrt{73})}{5 \cdot 48} = \frac{3(11-\sqrt{73})}{10}$ см.
Ответ: $\frac{3(11-\sqrt{73})}{10}$ см.

в) имеет длину 4,5 см и проходит через вершину тупого угла ромба.

Этот случай аналогичен предыдущему. Пирамида имеет плоскость симметрии.
Используем ту же систему координат. Высота $H=4.5$ см проходит через вершину тупого угла, например $B$. Тогда вершина пирамиды $S(0,3,4.5)$.
Пирамида симметрична относительно плоскости $x=0$. Центр вписанного шара $I$ лежит в этой плоскости, его координаты $I(0, y_I, r)$.
Расстояние от $I$ до основания равно $r$.
Рассмотрим грань $SAB$. Её вершинами являются $S(0,3,4.5), A(4,0,0), B(0,3,0)$. Уравнение плоскости этой грани: $3x+4y-12=0$.
Рассмотрим грань $SAD$. Её вершинами являются $S(0,3,4.5), A(4,0,0), D(0,-3,0)$. Уравнение плоскости этой грани: $9x-12y+16z-36=0$.
Расстояние от точки $I(0, y_I, r)$ до плоскости $SAB$:
$\frac{|3 \cdot 0 + 4y_I - 12|}{5} = r \Rightarrow \frac{|4y_I-12|}{5} = r$. Внутри пирамиды $4y_I-12<0$, поэтому $r = \frac{12-4y_I}{5}$.
Расстояние от точки $I(0, y_I, r)$ до плоскости $SAD$:
$\frac{|9 \cdot 0 - 12y_I + 16r - 36|}{\sqrt{9^2+(-12)^2+16^2}} = r \Rightarrow \frac{|-12y_I+16r-36|}{\sqrt{481}} = r$. Внутри пирамиды $-12y_I+16r-36 < 0$, поэтому $r = \frac{-(-12y_I+16r-36)}{\sqrt{481}} = \frac{12y_I-16r+36}{\sqrt{481}}$.
Решаем систему уравнений:
1) $5r = 12-4y_I \Rightarrow 4y_I = 12-5r$
2) $r\sqrt{481} = 12y_I-16r+36$
Подставляем $4y_I$ во второе уравнение (заметив, что $12y_I=3(4y_I)$):
$r\sqrt{481} = 3(12-5r)-16r+36 \Rightarrow r\sqrt{481} = 36-15r-16r+36 \Rightarrow r\sqrt{481} = 72-31r$.
$r(\sqrt{481}+31) = 72 \Rightarrow r = \frac{72}{31+\sqrt{481}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(31-\sqrt{481})$:
$r = \frac{72(31-\sqrt{481})}{31^2 - (\sqrt{481})^2} = \frac{72(31-\sqrt{481})}{961-481} = \frac{72(31-\sqrt{481})}{480} = \frac{3(31-\sqrt{481})}{20}$ см.
Ответ: $\frac{3(31-\sqrt{481})}{20}$ см.