Номер 987, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

987. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, боковые ребра которой попарно перпендикулярны и равны 2 см, 10 см и 12 см.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в треугольную пирамиду, используется формула $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности.

Пусть вершина пирамиды, в которой сходятся попарно перпендикулярные боковые ребра, — это точка $O$. Длины этих ребер по условию равны $a = 2$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см. Такая пирамида является прямоугольным тетраэдром.

Сначала вычислим объем пирамиды. Так как ребра $a$, $b$ и $c$ взаимно перпендикулярны, объем равен:$V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot c = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 10 \cdot 12 = 40$ см³.

Далее найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$. Она равна сумме площадей четырех граней. Три грани, сходящиеся в вершине $O$, являются прямоугольными треугольниками. Найдем их площади:$S_1 = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 = 10$ см².
$S_2 = \frac{1}{2} ac = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12 = 12$ см².
$S_3 = \frac{1}{2} bc = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Площадь четвертой грани $S_4$ (основания пирамиды) можно найти, используя аналог теоремы Пифагора для прямоугольного тетраэдра: квадрат площади грани, противолежащей прямому трехгранному углу, равен сумме квадратов площадей трех других граней.$S_4^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = 10^2 + 12^2 + 60^2 = 100 + 144 + 3600 = 3844$.
Отсюда $S_4 = \sqrt{3844} = 62$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды как сумму площадей всех ее граней:$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 10 + 12 + 60 + 62 = 144$ см².

Наконец, подставим найденные значения объема и площади полной поверхности в формулу для радиуса вписанного шара:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 40}{144} = \frac{120}{144}$.
Сократим полученную дробь (например, разделив числитель и знаменатель на 24):$r = \frac{120 \div 24}{144 \div 24} = \frac{5}{6}$ см.

Ответ: $\frac{5}{6}$ см.