Номер 986, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

986. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, у которой стороны основания равны 25 см, 29 см и 36 см, а вершина находится на расстоянии 10 см от каждого ребра основания.

Для нахождения радиуса $R$ вписанного в пирамиду шара воспользуемся формулой $R = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности. Для этого нам необходимо последовательно вычислить площадь основания, высоту, объем и полную поверхность пирамиды.

Сначала найдем площадь основания пирамиды $S_{осн}$. Основанием является треугольник со сторонами $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Вычислим его площадь по формуле Герона. Полупериметр основания $p_{осн}$ равен:$p_{осн} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см. Площадь основания:$S_{осн} = \sqrt{p_{осн}(p_{осн}-a)(p_{осн}-b)(p_{осн}-c)} = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{129600} = 360$ см².

Далее найдем высоту пирамиды $H$. По условию, вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от каждого ребра основания. Это расстояние, равное 10 см, является апофемой (высотой боковой грани) пирамиды, обозначим ее $l$. Так как вершина равноудалена от сторон основания, ее проекция на плоскость основания является центром вписанной в основание окружности (инцентром). Расстояние от инцентра до стороны основания есть радиус вписанной окружности $r_{осн}$. Вычислим этот радиус:$r_{осн} = \frac{S_{осн}}{p_{осн}} = \frac{360}{45} = 8$ см. Высота пирамиды $H$, радиус $r_{осн}$ и апофема $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:$H = \sqrt{l^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды $V$:$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 360 \cdot 6 = 720$ см³.

Для нахождения площади полной поверхности $S_{полн}$ сначала вычислим площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Она равна произведению полупериметра основания на апофему:$S_{бок} = p_{осн} \cdot l = 45 \cdot 10 = 450$ см². Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 360 + 450 = 810$ см².

Наконец, найдем радиус вписанного шара $R$:$R = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 720}{810} = \frac{2160}{810} = \frac{216}{81} = \frac{8}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8}{3}$ см.