Номер 989, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

989. Шар, вписанный в $n$-угольную пирамиду, и шар, описанный около нее, имеют общий центр. Докажите, что эта пирамида правильная и сумма плоских углов при ее вершине равна $180^\circ$.

Пусть дана $n$-угольная пирамида, у которой центры вписанного и описанного шаров совпадают. Обозначим этот общий центр как $O$, радиус вписанного шара как $r$, а радиус описанного шара как $R$.

Доказательство того, что пирамида правильная

1. Так как шар, описанный около пирамиды, имеет центр $O$, то все вершины пирамиды равноудалены от точки $O$. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A_1, A_2, \ldots, A_n$ — вершины её основания. Тогда $OS = OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n = R$.
Из равенства $OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n$ следует, что точка $O$ равноудалена от всех вершин основания. Это означает, что проекция точки $O$ на плоскость основания является центром окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$. Поскольку вершина пирамиды $S$ и центр $O$ лежат на оси симметрии (если она существует), то высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, проходит через центр описанной окружности основания.

2. Так как шар, вписанный в пирамиду, имеет центр $O$, то точка $O$ равноудалена от всех граней пирамиды (основания и боковых граней). Расстояние от $O$ до плоскости основания равно расстоянию от $O$ до плоскости каждой боковой грани, и это расстояние равно $r$.
Равноудаленность центра $O$ от боковых граней означает, что $O$ лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов при ребрах основания. Это свойство означает, что все двугранные углы при ребрах основания равны между собой. Равенство этих углов, в свою очередь, является необходимым и достаточным условием того, чтобы высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, проходила через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, проходит одновременно через центр описанной окружности основания и центр вписанной окружности основания. Это возможно только в том случае, если эти центры совпадают. Многоугольник, у которого совпадают центры вписанной и описанной окружностей, является правильным многоугольником.
Итак, основание пирамиды — правильный $n$-угольник, а её высота проходит через центр этого многоугольника. По определению, такая пирамида является правильной.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что пирамида является правильной.

Доказательство того, что сумма плоских углов при вершине равна 180°

Поскольку пирамида правильная, её ось симметрии проходит через общий центр $O$ и вершину $S$. Введем систему координат с началом в точке $O$, направив ось $Oz$ вдоль оси пирамиды к вершине $S$.
В этой системе вершина $S$ имеет координаты $(0, 0, R)$.
Плоскость основания перпендикулярна оси $Oz$. Так как расстояние от центра $O$ до основания равно $r$, уравнение этой плоскости $z = -r$.
Вершины основания $A_k$ лежат на пересечении сферы $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ и плоскости $z = -r$. Подставив $z=-r$ в уравнение сферы, получим $x^2 + y^2 + (-r)^2 = R^2$, или $x^2 + y^2 = R^2 - r^2$. Это уравнение окружности, описанной около основания, с радиусом $R_{осн} = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Рассмотрим одну из боковых граней, например, проходящую через вершину $S$ и ребро основания $A_1A_2$. Эта грань является плоскостью. Расстояние от начала координат $O$ до этой плоскости должно быть равно $r$. Найдем уравнение этой плоскости и используем это условие для связи $R$ и $r$.
Длина бокового ребра $l = SA_k$. В треугольнике $OSA_k$, который является равнобедренным ($OS=OA_k=R$), найдем косинус угла $\angle SOA_k$ через скалярное произведение векторов $\vec{OS}=(0,0,R)$ и $\vec{OA_k}=(x_k, y_k, -r)$: $\cos(\angle SOA_k) = \frac{\vec{OS} \cdot \vec{OA_k}}{|\vec{OS}| \cdot |\vec{OA_k}|} = \frac{0 \cdot x_k + 0 \cdot y_k + R \cdot (-r)}{R \cdot R} = -\frac{r}{R}$.
По теореме косинусов в $\triangle SOA_k$: $l^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\angle SOA_k) = 2R^2(1 + \frac{r}{R}) = 2R(R+r)$.

Длина стороны основания $a = A_1A_2$. В равнобедренном треугольнике $A_1O_{осн}A_2$ (где $O_{осн}$ - центр основания) угол при вершине $\angle A_1O_{осн}A_2 = \frac{2\pi}{n}$. По теореме косинусов: $a^2 = R_{осн}^2 + R_{осн}^2 - 2R_{осн}^2\cos(\frac{2\pi}{n}) = 2(R^2-r^2)(1-\cos(\frac{2\pi}{n}))$.

Теперь рассмотрим боковую грань $\triangle SA_1A_2$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $l, l, a$. Пусть плоский угол при вершине $S$ равен $\beta = \angle A_1SA_2$. По теореме косинусов для этого треугольника: $a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2\cos\beta = 2l^2(1-\cos\beta)$.
Приравняем выражения для $a^2$: $2(R^2-r^2)(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2(2R(R+r))(1-\cos\beta)$.
$(R-r)(R+r)(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2R(R+r)(1-\cos\beta)$.
Разделим на $(R+r) \neq 0$: $(R-r)(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2R(1-\cos\beta)$.
$(1-\frac{r}{R})(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2(1-\cos\beta)$.

Найдём соотношение между $r$ и $R$. Как было показано в доказательстве правильности пирамиды, все двугранные углы при основании равны. В сечении, проходящем через апофему пирамиды, видно, что центр $O$ лежит на высоте пирамиды $H=R+r$, и расстояние от $O$ до апофемы боковой грани равно $r$. Это приводит к соотношению $r/R = \cos(\pi/n) / (1+\cos(\pi/n))$, но есть более простой вывод. Оказывается, для такой пирамиды верно, что сумма двугранного угла при боковом ребре ($\delta$) и плоского угла при вершине ($\beta$) равна $\pi$. А также, что $\delta = \pi - \frac{\pi}{n}$. Отсюда $\beta = \pi/n$. Однако, докажем это строго, не используя данный факт. Для правильной пирамиды с совпадающими центрами вписанной и описанной сфер выполняется соотношение: $R^2 = (H-R)^2 + R_{осн}^2 = r^2 + (R^2-r^2)$, что верно. Более сложное соотношение, связывающее $r, R, H$ и апофему $h_s$: $(H-r)r = R_{осн} \sqrt{h_s^2 - H^2}$. Это приводит к сложным выкладкам. Вернемся к нашему уравнению $(1-\frac{r}{R})(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2(1-\cos\beta)$. Есть более прямой способ доказать, что $\beta = \pi/n$. В пирамиде, где центры вписанной и описанной сфер совпадают, существует связь между радиусами, высотой $H=R+r$ и углом $\alpha$ наклона боковой грани к основанию: $r = (R+r)\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha}$. И также $r = (R+r) \tan^2(\alpha/2) - R \tan^2(\alpha/2)$. Наиболее изящный путь лежит через проекции. Площадь основания $S_{осн}$ связана с суммарной площадью боковой поверхности $S_{бок}$ через двугранный угол $\alpha$ при основании: $S_{осн} = S_{бок} \cos\alpha$. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3}S_{полн}r = \frac{1}{3}(S_{осн}+S_{бок})r$. С другой стороны, $V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3}S_{осн}(R+r)$. $(S_{осн}+S_{бок})r = S_{осн}(R+r) \implies S_{бок}r = S_{осн}R \implies \frac{S_{осн}}{S_{бок}} = \frac{r}{R}$. Так как $\frac{S_{осн}}{S_{бок}} = \cos\alpha$, получаем $\cos\alpha = r/R$. В сечении, проходящем через апофему, $r = a_p \tan(\alpha/2)$, где $a_p$ - апофема основания. $a_p = R_{осн}\cos(\pi/n)$. $r = \sqrt{R^2-r^2}\cos(\pi/n)\tan(\alpha/2)$. $r^2 = (R^2-r^2)\cos^2(\pi/n)\tan^2(\alpha/2) = (R^2-r^2)\cos^2(\pi/n)\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = (R^2-r^2)\cos^2(\pi/n)\frac{1-r/R}{1+r/R}$. $r^2 = (R-r)(R+r)\cos^2(\pi/n)\frac{(R-r)/R}{(R+r)/R} = (R-r)^2\cos^2(\pi/n)$. $r = (R-r)\cos(\pi/n) \implies r = R\cos(\pi/n) - r\cos(\pi/n) \implies r(1+\cos(\pi/n)) = R\cos(\pi/n)$. $\frac{r}{R} = \frac{\cos(\pi/n)}{1+\cos(\pi/n)}$. Подставим это в наше уравнение: $(1-\frac{r}{R})(1-\cos(\frac{2\pi}{n})) = 2(1-\cos\beta)$. $1-\frac{r}{R} = 1 - \frac{\cos(\pi/n)}{1+\cos(\pi/n)} = \frac{1}{1+\cos(\pi/n)} = \frac{1}{2\cos^2(\pi/2n)}$. Используем формулы двойного угла: $1-\cos(\frac{2\pi}{n}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{n}) = 2(2\sin(\frac{\pi}{2n})\cos(\frac{\pi}{2n}))^2 = 8\sin^2(\frac{\pi}{2n})\cos^2(\frac{\pi}{2n})$. Подставляем: $\frac{1}{2\cos^2(\pi/2n)} \cdot 8\sin^2(\frac{\pi}{2n})\cos^2(\frac{\pi}{2n}) = 2(1-\cos\beta)$. $4\sin^2(\frac{\pi}{2n}) = 2(1-\cos\beta)$. $2\sin^2(\frac{\pi}{2n}) = 1-\cos\beta$. По формуле половинного угла $1-\cos\beta = 2\sin^2(\beta/2)$. $2\sin^2(\frac{\pi}{2n}) = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$. Так как углы $\pi/2n$ и $\beta/2$ острые, то $\sin(\frac{\pi}{2n}) = \sin(\frac{\beta}{2})$, откуда $\frac{\pi}{2n} = \frac{\beta}{2}$, и $\beta = \frac{\pi}{n}$ радиан.

Сумма всех плоских углов при вершине пирамиды равна $n \cdot \beta$. Сумма углов = $n \cdot \frac{\pi}{n} = \pi$ радиан, что составляет $180^\circ$.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $180^\circ$.