Номер 959, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

959. В прямом параллелепипеде ребра основания равны 29 см и 36 см, боковое ребро — 36 см, одна из диагоналей основания — 25 см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через большее ребро основания и диагональ боковой грани.

1. Определение фигуры сечения

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — параллелограмм. Боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основанию.

По условию, ребра основания равны 29 см и 36 см. Пусть большее ребро $AB = DC = 36$ см, а меньшее ребро $AD = BC = 29$ см. Боковое ребро (высота параллелепипеда) $AA_1 = 36$ см. Одна из диагоналей основания равна 25 см. Пусть это будет диагональ $AC = 25$ см.

Секущая плоскость проходит через большее ребро основания ($AB$) и диагональ боковой грани. Чтобы плоскость была однозначно определена, эта диагональ должна иметь общую вершину с ребром $AB$. Возьмем диагональ $AD_1$ боковой грани $ADD_1A_1$. Плоскость сечения определяется точками $A$, $B$ и $D_1$.

Так как $AB \parallel D_1C_1$, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ будет проходить через точку $D_1$ параллельно $AB$. Эта линия — $D_1C_1$. Следовательно, искомое сечение — это четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как противолежащие стороны $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны, $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

2. Нахождение площади основания

Площадь основания $S_{ABCD}$ можно найти как удвоенную площадь треугольника $ABC$. Стороны треугольника $ABC$ равны $AB=36$ см, $BC=29$ см, $AC=25$ см.

Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{36 + 29 + 25}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

$S_{ABC} = \sqrt{45(45-36)(45-29)(45-25)} = \sqrt{45 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 20} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot 9 \cdot 16 \cdot (4 \cdot 5)} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 16 \cdot 4} = 9 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 360$ см².

Площадь основания параллелепипеда: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 360 = 720$ см².

3. Нахождение высоты сечения

Площадь сечения (параллелограмма $ABC_1D_1$) равна произведению его основания $AB$ на высоту. Найдем эту высоту. Проведем в основании высоту $DH$ из вершины $D$ к стороне $AB$. Площадь основания также равна $S_{ABCD} = AB \cdot DH$.

$720 = 36 \cdot DH \implies DH = \frac{720}{36} = 20$ см.

Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $DH$. Следовательно, треугольник $DD_1H$ — прямоугольный.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $DH \perp AB$ (по построению) и $DD_1$ — перпендикуляр к плоскости основания, то наклонная $D_1H$ также перпендикулярна $AB$. Таким образом, $D_1H$ является высотой параллелограмма сечения $ABC_1D_1$.

Найдем $D_1H$ по теореме Пифагора из треугольника $DD_1H$:

$D_1H^2 = DD_1^2 + DH^2 = 36^2 + 20^2 = 1296 + 400 = 1696$.

$D_1H = \sqrt{1696} = \sqrt{16 \cdot 106} = 4\sqrt{106}$ см.

4. Нахождение площади сечения

Площадь сечения $S_{ABC_1D_1}$ равна произведению его основания $AB$ на высоту $D_1H$.

$S_{сеч} = AB \cdot D_1H = 36 \cdot 4\sqrt{106} = 144\sqrt{106}$ см².

Ответ: $144\sqrt{106}$ см².