Номер 952, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

952. В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро равно 12 см, а ребра основания — 8 см и 10 см. Площадь четырехугольника $AB_1C_1D$ равна 136 см². Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием параллелепипеда является параллелограмм $ABCD$, а боковые рёбра перпендикулярны основанию.

По условию задачи имеем:

• длина бокового ребра $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 12$ см;
• длины рёбер основания $AB = 8$ см и $AD = 10$ см;
• площадь четырёхугольника $AB_1C_1D$ равна $S_{AB_1C_1D} = 136 \text{ см}^2$.

Нам нужно найти площади диагональных сечений параллелепипеда. Диагональные сечения — это сечения, проходящие через два противоположных боковых ребра. В данном параллелепипеде это сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

Так как параллелепипед прямой, его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а значит, и диагоналям основания. Следовательно, диагональные сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ являются прямоугольниками.

Площади этих прямоугольников равны:

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot AA_1 = 12 \cdot AC$

$S_{BDD_1B_1} = BD \cdot BB_1 = 12 \cdot BD$

Для нахождения площадей сечений нам необходимо вычислить длины диагоналей основания $AC$ и $BD$.

Рассмотрим четырёхугольник $AB_1C_1D$. Вектор $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Вектор $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Так как это параллелепипед, $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$, что означает, что стороны $AB_1$ и $DC_1$ равны и параллельны. Таким образом, $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

Найдём связь между площадью этого параллелограмма и параметрами основания. Пусть угол между рёбрами основания $\angle DAB = \alpha$.

Площадь параллелограмма $AB_1C_1D$ можно вычислить как модуль векторного произведения векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB_1}$. Введём систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$.

• Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(10, 0, 0)$.
• Координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 0)$.
• Координаты вектора $\vec{AA_1}$ равны $(0, 0, 12)$.
• Координаты вектора $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$ равны $(8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 12)$.

Векторное произведение $\vec{AD} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{AD} \times \vec{AB_1} = (10, 0, 0) \times (8\cos\alpha, 8\sin\alpha, 12) = (0 \cdot 12 - 0 \cdot 8\sin\alpha, 0 \cdot 8\cos\alpha - 10 \cdot 12, 10 \cdot 8\sin\alpha - 0 \cdot 8\cos\alpha) = (0, -120, 80\sin\alpha)$.

Площадь параллелограмма $AB_1C_1D$ равна модулю этого вектора:

$S_{AB_1C_1D} = |\vec{AD} \times \vec{AB_1}| = \sqrt{0^2 + (-120)^2 + (80\sin\alpha)^2} = \sqrt{14400 + 6400\sin^2\alpha}$.

По условию эта площадь равна 136 см$^2$.

$136 = \sqrt{14400 + 6400\sin^2\alpha}$

$136^2 = 14400 + 6400\sin^2\alpha$

$18496 = 14400 + 6400\sin^2\alpha$

$4096 = 6400\sin^2\alpha$

$\sin^2\alpha = \frac{4096}{6400} = \frac{64^2}{80^2} = (\frac{64}{80})^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$.

Поскольку $\alpha$ — угол в параллелограмме, $\sin\alpha > 0$, следовательно, $\sin\alpha = \frac{4}{5}$.

Теперь найдём $\cos\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$, откуда $\cos\alpha = \pm\frac{3}{5}$. Угол в основании может быть как острым, так и тупым.

Теперь мы можем найти длины диагоналей основания $AC$ и $BD$ с помощью теоремы косинусов для треугольников $ABD$ и $ACD$.

Для диагонали $BD$ (в $\triangle ABD$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos\alpha = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos\alpha = 164 - 160\cos\alpha$.

Для диагонали $AC$ (в $\triangle ACD$, где $\angle ADC = 180^\circ - \alpha$ и $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$):

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 10^2 + 8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos\alpha = 164 + 160\cos\alpha$.

Набор длин диагоналей не зависит от знака $\cos\alpha$. Возьмём $\cos\alpha = \frac{3}{5}$:

$BD^2 = 164 - 160 \cdot (\frac{3}{5}) = 164 - 96 = 68 \implies BD = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ см.

$AC^2 = 164 + 160 \cdot (\frac{3}{5}) = 164 + 96 = 260 \implies AC = \sqrt{260} = 2\sqrt{65}$ см.

Теперь, зная длины диагоналей основания, можем найти площади диагональных сечений:

$S_{ACC_1A_1} = 12 \cdot AC = 12 \cdot 2\sqrt{65} = 24\sqrt{65} \text{ см}^2$.

$S_{BDD_1B_1} = 12 \cdot BD = 12 \cdot 2\sqrt{17} = 24\sqrt{17} \text{ см}^2$.

Ответ: Площади диагональных сечений равны $24\sqrt{17} \text{ см}^2$ и $24\sqrt{65} \text{ см}^2$.