Номер 948, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

948. Из точки $A$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $AB$ и $AC$. На дуге $BC$, ближайшей к $A$, отмечают точку $D$ и проводят через нее еще одну касательную, которая пересекает проведенные раньше в точках $M$ и $N$ (рис. 301). Докажите, что:

а) периметр треугольника $AMN$ не зависит от выбора точки $D$;

б) величина угла $MON$ не зависит от выбора точки $D$.

Рис. 301

а)

Периметр треугольника $AMN$ вычисляется по формуле: $P_{AMN} = AM + AN + MN$. Отрезок $MN$ является касательной к окружности в точке $D$, поэтому его можно разбить на два отрезка: $MN = MD + DN$. Таким образом, периметр равен $P_{AMN} = AM + AN + MD + DN$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, из которой проведены касательные к окружности, касающиеся ее в точках $B$ и $D$, имеем равенство: $MB = MD$.

Для точки $N$, из которой проведены касательные к окружности, касающиеся ее в точках $C$ и $D$, имеем равенство: $NC = ND$.

Подставим эти равенства в формулу для периметра: $P_{AMN} = AM + AN + MB + NC$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{AMN} = (AM + MB) + (AN + NC)$.

Заметим, что $AM + MB = AB$ и $AN + NC = AC$. Следовательно, $P_{AMN} = AB + AC$.

Так как исходная точка $A$ и окружность фиксированы, то точки касания $B$ и $C$ также фиксированы. Это означает, что длины отрезков $AB$ и $AC$ постоянны и не зависят от положения точки $D$ на дуге $BC$. Более того, по свойству касательных, проведенных из одной точки $A$, мы знаем, что $AB = AC$. Таким образом, периметр равен $P_{AMN} = 2AB$.

Поскольку длины касательных $AB$ и $AC$ не зависят от выбора точки $D$, то и периметр треугольника $AMN$ также не зависит от выбора точки $D$.

Ответ: Периметр треугольника $AMN$ равен $AB + AC$, что является постоянной величиной, не зависящей от выбора точки $D$.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMD$.

• $OB = OD$ (как радиусы одной окружности).
• $MB = MD$ (как отрезки касательных, проведенных из одной точки $M$).
• Сторона $OM$ — общая.

Следовательно, $\triangle OMB \cong \triangle OMD$ (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle MOB = \angle MOD$.

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle ONC$ и $\triangle OND$.

• $OC = OD$ (как радиусы одной окружности).
• $NC = ND$ (как отрезки касательных, проведенных из одной точки $N$).
• Сторона $ON$ — общая.

Следовательно, $\triangle ONC \cong \triangle OND$ (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle NOC = \angle NOD$.

Угол $\angle MON$ состоит из двух углов: $\angle MON = \angle MOD + \angle NOD$.

Центральный угол $\angle BOC$ состоит из углов $\angle BOD$ и $\angle COD$, так как точка $D$ лежит на дуге $BC$. $\angle BOC = \angle BOD + \angle COD$.

Используя доказанные выше равенства углов, можем записать: $\angle BOD = \angle MOB + \angle MOD = 2\angle MOD$. $\angle COD = \angle NOC + \angle NOD = 2\angle NOD$.

Подставим эти выражения в формулу для угла $\angle BOC$: $\angle BOC = 2\angle MOD + 2\angle NOD = 2(\angle MOD + \angle NOD)$.

Поскольку $\angle MON = \angle MOD + \angle NOD$, получаем: $\angle BOC = 2\angle MON$, или $\angle MON = \frac{1}{2}\angle BOC$.

Так как точки $B$ и $C$ являются фиксированными точками касания, а $O$ — центр окружности, то угол $\angle BOC$ имеет постоянную величину, не зависящую от выбора точки $D$. Следовательно, и угол $\angle MON$, равный половине угла $\angle BOC$, также является постоянной величиной.

Ответ: Величина угла $\angle MON$ равна половине величины угла $\angle BOC$ и не зависит от выбора точки $D$.