Номер 947, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

947. Через точку пересечения двух окружностей проведена прямая, пересекающая эти окружности еще раз в точках $M$ и $N$. Докажите, что длина отрезка $MN$ наибольшая, если прямая $MN$ параллельна линии центров.

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Пусть эти окружности пересекаются в точке $A$. Через точку $A$ проведена прямая $l$, которая пересекает окружность $\omega_1$ в точке $M$ и окружность $\omega_2$ в точке $N$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ будет наибольшей, когда прямая $l$ параллельна линии центров $O_1O_2$.

Опустим перпендикуляры из центров $O_1$ и $O_2$ на прямую $l$. Пусть $P_1$ и $P_2$ — основания этих перпендикуляров. Таким образом, $O_1P_1 \perp l$ и $O_2P_2 \perp l$.

По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

• В окружности $\omega_1$ прямая $l$ образует хорду $AM$. Точка $P_1$ является серединой хорды $AM$.
• В окружности $\omega_2$ прямая $l$ образует хорду $AN$. Точка $P_2$ является серединой хорды $AN$.

Введем на прямой $l$ систему координат, приняв точку $A$ за начало отсчета (координата 0). Пусть точка $M$ имеет координату $m$, а точка $N$ — координату $n$.

• Поскольку $P_1$ — середина отрезка $AM$, ее координата $p_1 = \frac{0+m}{2} = \frac{m}{2}$.
• Аналогично, поскольку $P_2$ — середина отрезка $AN$, ее координата $p_2 = \frac{0+n}{2} = \frac{n}{2}$.

Длина отрезка $MN$ равна модулю разности координат его концов: $MN = |m-n|$.
Длина отрезка $P_1P_2$ также равна модулю разности координат его концов: $P_1P_2 = |p_1 - p_2| = |\frac{m}{2} - \frac{n}{2}| = \frac{|m-n|}{2}$.
Из этого соотношения получаем, что $MN = 2 \cdot P_1P_2$.

Теперь рассмотрим связь между длиной отрезка $P_1P_2$ и расстоянием между центрами $O_1O_2$. По построению, $P_1$ и $P_2$ являются ортогональными проекциями точек $O_1$ и $O_2$ на прямую $l$. Следовательно, отрезок $P_1P_2$ является проекцией отрезка $O_1O_2$ на прямую $l$.

Пусть $\alpha$ — это угол между прямой $l$ (прямой $MN$) и линией центров $O_1O_2$. Длина проекции отрезка на прямую равна произведению длины самого отрезка на модуль косинуса угла между прямой, содержащей отрезок, и прямой, на которую он проецируется. Следовательно, $P_1P_2 = O_1O_2 \cdot |\cos\alpha|$.

Подставим это выражение в формулу для длины $MN$:$MN = 2 \cdot P_1P_2 = 2 \cdot O_1O_2 \cdot |\cos\alpha|$.

Расстояние между центрами $O_1O_2$ для данных двух окружностей является постоянной величиной. Значит, длина отрезка $MN$ зависит только от угла $\alpha$ между прямой $MN$ и линией центров $O_1O_2$.

Чтобы длина $MN$ была наибольшей, необходимо, чтобы значение $|\cos\alpha|$ было наибольшим. Наибольшее значение $|\cos\alpha|$ равно 1. Это достигается при $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$. В обоих случаях это означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $O_1O_2$.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $MN$ является наибольшей, если прямая $MN$ параллельна линии центров.

Ответ: Утверждение доказано. Длина отрезка $MN$ достигает своего максимального значения, равного удвоенному расстоянию между центрами окружностей ($2 \cdot O_1O_2$), когда прямая $MN$ параллельна линии центров $O_1O_2$.