Номер 951, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

951. В прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ высота $AK$ основания $ABCD$ имеет длину 24 см и разделяет сторону $BC$ в отношении $2 : 3$, если считать от вершины $A$. Учитывая, что $AB = 26$ см, $BB_1 = 45$ см, найдите площадь четырехугольника $AB_1C_1D$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой параллелепипед, его боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Основание $ABCD$ является параллелограммом.

В условии сказано, что высота $AK$ основания $ABCD$ разделяет сторону $BC$. Это означает, что $AK$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как точка $K$ разделяет отрезок $BC$, она лежит между точками $B$ и $C$. Следовательно, $AK \perp BC$, и угол $B$ в параллелограмме — острый. Фраза "если считать от вершины А", скорее всего, является опечаткой, и должно быть "если считать от вершины B", так как точка $K$ находится на стороне $BC$.

1. Найдем размеры основания $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$ (так как $AK$ — высота к $BC$). Гипотенуза $AB = 26$ см, катет $AK = 24$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BK$:

$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{(26-24)(26+24)} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10$ см.

По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $2:3$, считая от вершины $B$. Таким образом, $BK : KC = 2 : 3$.

Мы нашли, что $BK = 10$ см. Тогда $KC$ можно найти из пропорции:

$\frac{BK}{KC} = \frac{2}{3} \implies \frac{10}{KC} = \frac{2}{3} \implies KC = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$:

$BC = BK + KC = 10 + 15 = 25$ см.

2. Определим вид четырехугольника $AB_1C_1D$.

Векторы, определяющие стороны четырехугольника, связаны со сторонами параллелепипеда. Рассмотрим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Равенство векторов означает, что отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны и равны по длине. Это является достаточным условием для того, чтобы четырехугольник $AB_1C_1D$ был параллелограммом.

3. Найдем площадь параллелограмма $AB_1C_1D$.

Воспользуемся методом проекций. Площадь проекции многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника формулой $S_{пр} = S \cdot \cos\theta$, где $S$ — площадь исходного многоугольника, а $\theta$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Проекцией параллелограмма $AB_1C_1D$ на плоскость основания $ABCD$ является сам параллелограмм $ABCD$, так как вершины $A$ и $D$ лежат в этой плоскости, а вершины $B_1$ и $C_1$ проектируются в $B$ и $C$ соответственно.

Найдем площадь основания $S_{ABCD}$:

$S_{ABCD} = BC \cdot AK = 25 \cdot 24 = 600$ см$^2$.

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между плоскостью $AB_1C_1D$ и плоскостью $ABCD$. Для этого введем систему координат. Поместим точку $K$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $BC$, ось $Oy$ — вдоль прямой $AK$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $BB_1$.

Координаты вершин:

$K(0,0,0)$, $A(0,24,0)$, $B(-10,0,0)$, $C(15,0,0)$.

Координаты вершины $D$ найдем из векторного равенства $\vec{AD} = \vec{BC}$:$D(x,y,z) - A(0,24,0) = C(15,0,0) - B(-10,0,0) = (25,0,0)$.$D(x,y,z) = (25, 24, 0)$.

Координаты вершин $B_1$ и $C_1$ (учитывая, что $BB_1 = 45$):

$B_1(-10,0,45)$, $C_1(15,0,45)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1D$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{DA} = A - D = (0-25, 24-24, 0-0) = (-25, 0, 0)$.

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (15-25, 0-24, 45-0) = (-10, -24, 45)$.

$\vec{n} = \vec{DA} \times \vec{DC_1} = (0 \cdot 45 - 0 \cdot (-24), 0 \cdot (-10) - (-25) \cdot 45, -25 \cdot (-24) - 0 \cdot (-10)) = (0, 1125, 600)$.

Нормальный вектор к плоскости основания $ABCD$ (плоскость $Oxy$) — это $\vec{n}_{осн} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_{осн}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}_{осн}|} = \frac{|0 \cdot 0 + 1125 \cdot 0 + 600 \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 1125^2 + 600^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{600}{\sqrt{1265625 + 360000}} = \frac{600}{\sqrt{1625625}}$.

Вычислим знаменатель: $\sqrt{1125^2 + 600^2} = \sqrt{(75 \cdot 15)^2 + (75 \cdot 8)^2} = 75\sqrt{15^2+8^2} = 75\sqrt{225+64} = 75\sqrt{289} = 75 \cdot 17 = 1275$.

$\cos\theta = \frac{600}{1275} = \frac{8 \cdot 75}{17 \cdot 75} = \frac{8}{17}$.

Теперь можем найти искомую площадь $S_{AB_1C_1D}$:

$S_{AB_1C_1D} = \frac{S_{ABCD}}{\cos\theta} = \frac{600}{8/17} = \frac{600 \cdot 17}{8} = 75 \cdot 17 = 1275$ см$^2$.

Ответ: $1275$ см$^2$.