Номер 957, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

957. Сечение правильной четырехугольной призмы проходит через ее центр и середины двух смежных ребер основания (рис. 303). Найдите площадь сечения, учитывая, что ребро основания равно $a$, а боковое ребро — $b$.

Рис. 303

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание. Ребро основания равно $a$, а боковое ребро (высота) равно $b$.

Для решения задачи введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $A_1(0, 0, b)$, $B_1(a, 0, b)$, $D_1(0, a, b)$, $C_1(a, a, b)$.

Построение сечения

Плоскость сечения определена тремя точками, не лежащими на одной прямой:
1. Центр призмы $O$. Его координаты являются полусуммой координат противоположных вершин, например $A$ и $C_1$: $O\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$.
2. Середина ребра $AB$ — точка $N$: $N\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.
3. Середина смежного ребра $AD$ — точка $M$: $M\left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Поскольку плоскость сечения проходит через центр симметрии призмы $O$, то и само сечение будет фигурой, симметричной относительно точки $O$. Это означает, что для каждой точки сечения симметричная ей относительно $O$ точка также лежит в сечении.

Сечение является шестиугольником $MNRPQS$, вершины которого — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы. Координаты этих вершин:
• $M\left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$ и $N\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$ — заданные середины ребер основания $AD$ и $AB$.
• $R\left(a, 0, \frac{b}{2}\right)$ и $S\left(0, a, \frac{b}{2}\right)$ — точки на боковых ребрах $BB_1$ и $DD_1$.
• $P\left(a, \frac{a}{2}, b\right)$ и $Q\left(\frac{a}{2}, a, b\right)$ — середины ребер верхнего основания $B_1C_1$ и $C_1D_1$ (эти точки симметричны точкам $M$ и $N$ относительно центра $O$).

Вычисление площади сечения

Площадь полученного шестиугольника $S_{сеч}$ удобно вычислить через площадь его ортогональной проекции на плоскость основания ($S_{пр}$) и угол $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью основания. Формула для вычисления: $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos{\theta}}$.

1. Нахождение площади проекции
Проекцией шестиугольника $MNRPQS$ на плоскость основания $ABCD$ (плоскость $Oxy$) является шестиугольник $M_{пр}N_{пр}R_{пр}P_{пр}Q_{пр}S_{пр}$. Его вершины имеют следующие координаты: $M_{пр}(0, a/2)$, $N_{пр}(a/2, 0)$, $R_{пр}(a, 0)$, $P_{пр}(a, a/2)$, $Q_{пр}(a/2, a)$, $S_{пр}(0, a)$.
Площадь этого шестиугольника можно вычислить как площадь квадрата $ABCD$ со стороной $a$ за вычетом площадей двух равных прямоугольных треугольников, отсекаемых в углах.
Площадь квадрата основания: $S_{ABCD} = a^2$.
Площадь одного отсекаемого треугольника (например, с вершинами $(0,0)$, $N_{пр}(a/2,0)$ и $M_{пр}(0,a/2)$) равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.
Площадь проекции: $S_{пр} = S_{ABCD} - 2 \cdot S_{\triangle} = a^2 - 2 \cdot \frac{a^2}{8} = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.

2. Нахождение угла между плоскостями
Угол $\theta$ между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормаль к плоскости основания — вектор $\vec{k}=(0,0,1)$.
Чтобы найти нормаль к плоскости сечения $\vec{n}$, можно вычислить векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например $\vec{MN}$ и $\vec{MO}$.
$\vec{MN} = N - M = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)$.
$\vec{MO} = O - M = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{b}{2}\right)$.
$\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MO} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a/2 & -a/2 & 0 \\ a/2 & 0 & b/2 \end{array}\right| = \vec{i}\left(-\frac{ab}{4}\right) - \vec{j}\left(\frac{ab}{4}\right) + \vec{k}\left(\frac{a^2}{4}\right) = \left(-\frac{ab}{4}, -\frac{ab}{4}, \frac{a^2}{4}\right)$.
Для простоты расчетов можно использовать коллинеарный вектор, умножив $\vec{n}$ на $-\frac{4}{a}$: $\vec{n'} = (b, b, -a)$.
Теперь найдем косинус угла между нормалями $\vec{n'}$ и $\vec{k}$:
$\cos{\theta} = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|b \cdot 0 + b \cdot 0 + (-a) \cdot 1|}{\sqrt{b^2 + b^2 + (-a)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{a^2 + 2b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 2b^2}}$.

3. Вычисление итоговой площади сечения
Подставим найденные значения $S_{пр}$ и $\cos{\theta}$ в формулу:
$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos{\theta}} = \frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a}{\sqrt{a^2 + 2b^2}}} = \frac{3a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + 2b^2}}{a} = \frac{3a\sqrt{a^2 + 2b^2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{a^2 + 2b^2}}{4}$.