Номер 950, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

950. Докажите, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Пусть даны две плоскости, $\alpha$ и $\beta$. Пусть прямая $n_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($n_1 \perp \alpha$), а прямая $n_2$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($n_2 \perp \beta$). Требуется доказать, что угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между прямыми $n_1$ и $n_2$.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения плоскостей.

Случай 1: Плоскости параллельны.

Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), то угол между ними по определению равен $0^\circ$. Если прямая $n_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, то прямая $n_1$ также перпендикулярна и плоскости $\beta$. Прямые $n_1$ и $n_2$ обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\beta$, следовательно, они параллельны друг другу ($n_1 \parallel n_2$). Угол между параллельными прямыми по определению также равен $0^\circ$. Таким образом, в этом случае утверждение верно: угол между плоскостями ($0^\circ$) равен углу между перпендикулярными им прямыми ($0^\circ$).

Случай 2: Плоскости пересекаются.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла. Для его построения выберем произвольную точку $O$ на линии пересечения $c$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$ через точку $O$ перпендикулярно прямой $c$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$ через точку $O$ также перпендикулярно прямой $c$. Угол $\phi$ между прямыми $a$ и $b$ и есть угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По определению, угол между плоскостями (и прямыми) — это острый или прямой угол, то есть $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$.

Проведем через ту же точку $O$ прямые $n_1$ и $n_2$, перпендикулярные плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Поскольку $n_1 \perp \alpha$, то прямая $n_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, $n_1 \perp a$ и $n_1 \perp c$. Аналогично, поскольку $n_2 \perp \beta$, то $n_2 \perp b$ и $n_2 \perp c$.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $c$. Так как $a \perp c$ и $b \perp c$, то прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\gamma$. Так как $n_1 \perp c$ и $n_2 \perp c$, то прямые $n_1$ и $n_2$ также лежат в этой плоскости $\gamma$. Таким образом, пространственная задача сводится к планиметрической задаче в плоскости $\gamma$. В этой плоскости через точку $O$ проходят четыре прямые: $a$, $b$, $n_1$, $n_2$. Известно, что угол между прямыми $a$ и $b$ равен $\phi$, при этом $n_1 \perp a$ и $n_2 \perp b$. Требуется найти угол $\psi$ между прямыми $n_1$ и $n_2$.

Угол между прямыми $a$ и $b$ и угол между прямыми $n_1$ и $n_2$ — это углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из курса планиметрии известно, что такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$. То есть, $\psi = \phi$ или $\psi = 180^\circ - \phi$.

По определению, угол между прямыми (как и между плоскостями) принимается за наименьший из двух образованных углов, то есть он не превышает $90^\circ$. Таким образом, $\phi \in [0^\circ, 90^\circ]$ и $\psi \in [0^\circ, 90^\circ]$.

Рассмотрим равенство $\psi = 180^\circ - \phi$. Поскольку $\phi \le 90^\circ$, то $180^\circ - \phi \ge 90^\circ$. Значит, $\psi \ge 90^\circ$. Так как по определению $\psi \le 90^\circ$, это равенство может выполняться только в одном случае: $\psi = 90^\circ$, что влечет за собой $\phi = 90^\circ$. В этом случае $\psi = \phi$. Если же $\phi < 90^\circ$, то равенство $\psi = 180^\circ - \phi$ невозможно, так как оно привело бы к $\psi > 90^\circ$, что противоречит определению угла между прямыми.

Следовательно, единственно возможный вариант, удовлетворяющий определениям, — это $\psi = \phi$. Таким образом, мы доказали, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между перпендикулярными к ним прямыми.

Так как утверждение верно для параллельных и для пересекающихся плоскостей, оно доказано.

Ответ: Доказано, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.