Номер 955, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

955. Сечение куба проходит через его диагональ и середину ребра. Найдите площадь сечения, учитывая, что ребро куба равно $a$.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной $a$. Плоскость сечения проходит через диагональ куба и середину некоторого ребра.

Положение плоскости сечения зависит от того, какое ребро выбрано. Существует два принципиально различных случая:

1. Ребро имеет общую вершину с диагональю (например, для диагонали $AC_1$ это ребра $AB$, $AD$, $AA_1$, $CC_1$, $C_1B_1$, $C_1D_1$). Если плоскость проходит через диагональ $AC_1$ и середину ребра $AB$, то она содержит и всё ребро $AB$. В этом случае сечением является прямоугольник $ABC_1D_1$ со сторонами $a$ и $a\sqrt{2}$. Его площадь равна $a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.
2. Ребро не имеет общих вершин с диагональю (является скрещивающимся с диагональю). Для диагонали $AC_1$ это ребра $BB_1$, $DD_1$, $BC$, $CD$, $A_1B_1$, $A_1D_1$. Этот случай является более общим, и, как правило, именно он подразумевается в подобных задачах. Решим задачу для этого случая.

Выберем диагональ куба $AC_1$ и середину $M$ ребра $BB_1$, которое не имеет общих вершин с диагональю $AC_1$. Плоскость сечения определяется тремя точками: $A$, $C_1$ и $M$.

Построим сечение. Так как точки $A$ и $M$ принадлежат плоскости сечения и грани $AA_1B_1B$, то сечение пересекает эту грань по отрезку $AM$.

Грань $DD_1C_1C$ параллельна грани $AA_1B_1B$. Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения сечения с плоскостью грани $DD_1C_1C$ должна быть параллельна прямой $AM$ и проходить через точку $C_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $N$. Тогда четырехугольник $AMC_1N$ является искомым сечением. По построению $AM \parallel NC_1$, значит, $AMC_1N$ — параллелограмм.

Поскольку $NC_1 \parallel AM$, то треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle D_1NC_1$ равны по катету и острому углу в прямоугольной системе координат, связанной с кубом. Отсюда следует, что $D_1N = BM = a/2$. Таким образом, точка $N$ является серединой ребра $DD_1$.

Найдем длины сторон параллелограмма $AMC_1N$.

Из прямоугольного треугольника $ABM$ по теореме Пифагора находим сторону $AM$:
$|AM| = \sqrt{|AB|^2 + |BM|^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Аналогично, из прямоугольного треугольника $ADN$ находим сторону $AN$:
$|AN| = \sqrt{|AD|^2 + |DN|^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Так как смежные стороны параллелограмма равны ($|AM| = |AN|$), то этот параллелограмм является ромбом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагоналями ромба $AMC_1N$ являются отрезки $AC_1$ и $MN$.

Длина диагонали куба $AC_1$ вычисляется по формуле:
$|AC_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Для нахождения длины диагонали $MN$ заметим, что отрезок $MN$ соединяет середины скрещивающихся ребер $BB_1$ и $DD_1$. Его длина равна расстоянию между прямыми, на которых лежат эти ребра, что равно диагонали грани $BD$.
$|MN| = |BD| = \sqrt{|AB|^2 + |AD|^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S$:
$S = \frac{1}{2} \cdot |AC_1| \cdot |MN| = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{3}) \cdot (a\sqrt{2}) = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{6}}{2}$.