Номер 958, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

958. В прямом параллелепипеде ребра основания равны 17 см и 28 см, одна из диагоналей основания — 25 см. Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда, учитывая, что они в сумме составляют $ \frac{16}{15} $ площади основания.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Обозначим его стороны как $a = 17$ см и $b = 28$ см, а одну из диагоналей как $d_1 = 25$ см.

1. Нахождение площади основания

Диагональ $d_1$ делит параллелограмм на два равных треугольника со сторонами $a$, $b$ и $d_1$. Найдем площадь одного такого треугольника по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d_1)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Рассчитаем полупериметр: $p = \frac{17 + 28 + 25}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Теперь найдем площадь треугольника: $S_{\triangle} = \sqrt{35(35-17)(35-28)(35-25)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 7 \cdot 10}$ $S_{\triangle} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 5)} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$ $\text{см}^2$.

Площадь основания параллелепипеда ($S_{осн}$) равна удвоенной площади этого треугольника: $S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 210 = 420$ $\text{см}^2$.

2. Нахождение второй диагонали основания

Для нахождения второй диагонали основания ($d_2$) воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения: $25^2 + d_2^2 = 2(17^2 + 28^2)$ $625 + d_2^2 = 2(289 + 784)$ $625 + d_2^2 = 2 \cdot 1073$ $625 + d_2^2 = 2146$ $d_2^2 = 2146 - 625 = 1521$ $d_2 = \sqrt{1521} = 39$ см.

3. Нахождение высоты параллелепипеда

Поскольку параллелепипед прямой, его диагональные сечения являются прямоугольниками. Их площади равны $S_1 = d_1 \cdot h$ и $S_2 = d_2 \cdot h$, где $h$ — высота параллелепипеда. По условию, сумма площадей диагональных сечений составляет $\frac{16}{15}$ площади основания: $S_1 + S_2 = \frac{16}{15} S_{осн}$ $d_1 h + d_2 h = \frac{16}{15} \cdot 420$ $h(d_1 + d_2) = 16 \cdot \frac{420}{15}$ $h(25 + 39) = 16 \cdot 28$ $64h = 448$ $h = \frac{448}{64} = 7$ см.

4. Нахождение площадей диагональных сечений

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площади каждого диагонального сечения: $S_1 = d_1 \cdot h = 25 \cdot 7 = 175$ $\text{см}^2$. $S_2 = d_2 \cdot h = 39 \cdot 7 = 273$ $\text{см}^2$.

Ответ: площади диагональных сечений равны 175 $\text{см}^2$ и 273 $\text{см}^2$.