Номер 963, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

963. В треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 13 см, 37 см и 40 см. Найдите расстояния между боковыми гранями.

Расстояние между боковыми ребрами призмы — это расстояние между параллельными прямыми. Чтобы его измерить, нужно провести плоскость, перпендикулярную этим ребрам. Эта плоскость пересечет боковые ребра в трех точках, образующих треугольник. Этот треугольник называется перпендикулярным сечением призмы. Стороны этого треугольника равны заданным расстояниям между боковыми ребрами.

Таким образом, у нас есть треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 37$ см и $c = 40$ см.

Расстояния между боковыми гранями призмы равны высотам этого треугольника, опущенным на соответствующие стороны. Чтобы найти высоты, сначала найдем площадь этого треугольника по формуле Герона.

1. Нахождение площади перпендикулярного сечения (треугольника)

Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+37+40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{45(45-13)(45-37)(45-40)} = \sqrt{45 \cdot 32 \cdot 8 \cdot 5}$
Разложим числа на множители для удобства извлечения корня:
$S = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 2) \cdot 8 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot (2 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 25}$
$S = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 = 240$ см².

2. Нахождение расстояний между боковыми гранями (высот треугольника)

Площадь треугольника также можно выразить через сторону и высоту, опущенную на эту сторону: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. Отсюда высота $h_a = \frac{2S}{a}$. Найдем все три высоты.

Расстояние до грани, содержащей сторону 13 см:
$h_1 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 240}{13} = \frac{480}{13}$ см.

Расстояние до грани, содержащей сторону 37 см:
$h_2 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 240}{37} = \frac{480}{37}$ см.

Расстояние до грани, содержащей сторону 40 см:
$h_3 = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 240}{40} = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: расстояния между боковыми гранями равны 12 см, $\frac{480}{13}$ см и $\frac{480}{37}$ см.