Номер 960, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

960. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На диагоналях $D_1A$ и $A_1B$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причем $D_1M : D_1A = NB : A_1B = 1 : 3$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $MN$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D куба. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

1. Определение координат вершин

Поскольку ребро куба равно $a$, координаты вершин будут следующими:

$D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$

$D_1(0, 0, a)$, $A_1(a, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$, $B_1(a, a, a)$

2. Нахождение координат точек M и N

Точка $M$ лежит на диагонали $D_1A$, и по условию $D_1M : D_1A = 1 : 3$. Это означает, что вектор $\vec{D_1M} = \frac{1}{3}\vec{D_1A}$. Координаты точки $M$ можно найти по формуле: $\vec{M} = \vec{D_1} + \frac{1}{3}(\vec{A} - \vec{D_1})$.

Вектор $\vec{D_1A}$ имеет координаты: $\vec{D_1A} = (a-0, 0-0, 0-a) = (a, 0, -a)$.

Координаты точки $M$:

$M = (0, 0, a) + \frac{1}{3}(a, 0, -a) = (\frac{a}{3}, 0, a - \frac{a}{3}) = (\frac{a}{3}, 0, \frac{2a}{3})$.

Точка $N$ лежит на диагонали $A_1B$, и по условию $NB : A_1B = 1 : 3$. Это означает, что точка $N$ делит отрезок $A_1B$ в отношении $A_1N : NB = 2 : 1$. Координаты точки $N$ можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении: $\vec{N} = \frac{1 \cdot \vec{A_1} + 2 \cdot \vec{B}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{A_1} + \frac{2}{3}\vec{B}$.

Координаты точки $N$:

$N = \frac{1}{3}(a, 0, a) + \frac{2}{3}(a, a, 0) = (\frac{a}{3} + \frac{2a}{3}, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3}) = (a, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3})$.

3. Вычисление расстояния от вершины C до прямой MN

Расстояние $d$ от точки $C(0, a, 0)$ до прямой, проходящей через точки $M$ и $N$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{MC} \times \vec{MN}|}{|\vec{MN}|}$

Сначала найдем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MC}$:

$\vec{MN} = N - M = (a - \frac{a}{3}, \frac{2a}{3} - 0, \frac{a}{3} - \frac{2a}{3}) = (\frac{2a}{3}, \frac{2a}{3}, -\frac{a}{3})$.

$\vec{MC} = C - M = (0 - \frac{a}{3}, a - 0, 0 - \frac{2a}{3}) = (-\frac{a}{3}, a, -\frac{2a}{3})$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = \sqrt{(\frac{2a}{3})^2 + (\frac{2a}{3})^2 + (-\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2}{9}} = a$.

Далее найдем векторное произведение $\vec{MC} \times \vec{MN}$:

$\vec{MC} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{3} & a & -\frac{2a}{3} \\ \frac{2a}{3} & \frac{2a}{3} & -\frac{a}{3} \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(a(-\frac{a}{3}) - (-\frac{2a}{3})(\frac{2a}{3})) - \mathbf{j}((-\frac{a}{3})(-\frac{a}{3}) - (-\frac{2a}{3})(\frac{2a}{3})) + \mathbf{k}((-\frac{a}{3})(\frac{2a}{3}) - a(\frac{2a}{3}))$

$= \mathbf{i}(-\frac{a^2}{3} + \frac{4a^2}{9}) - \mathbf{j}(\frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}) + \mathbf{k}(-\frac{2a^2}{9} - \frac{6a^2}{9})$

$= \mathbf{i}(\frac{a^2}{9}) - \mathbf{j}(\frac{5a^2}{9}) + \mathbf{k}(-\frac{8a^2}{9}) = (\frac{a^2}{9}, -\frac{5a^2}{9}, -\frac{8a^2}{9})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{MC} \times \vec{MN}| = \sqrt{(\frac{a^2}{9})^2 + (-\frac{5a^2}{9})^2 + (-\frac{8a^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{a^4}{81} + \frac{25a^4}{81} + \frac{64a^4}{81}}$

$= \sqrt{\frac{(1+25+64)a^4}{81}} = \sqrt{\frac{90a^4}{81}} = \sqrt{\frac{10a^4}{9}} = \frac{a^2\sqrt{10}}{3}$.

Наконец, вычислим искомое расстояние:

$d = \frac{|\vec{MC} \times \vec{MN}|}{|\vec{MN}|} = \frac{\frac{a^2\sqrt{10}}{3}}{a} = \frac{a\sqrt{10}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{10}}{3}$.