Номер 953, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

953. В параллелепипеде боковое ребро, равное 20 см, наклонено к плоскости основания под углом 45°, диагональное сечение, содержащее большую диагональ, перпендикулярно плоскости основания

Рис. 302

(рис. 302). Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда, учитывая, что стороны основания равны 34 см и 42 см, а одна из его диагоналей — 20 см.

Пусть основанием параллелепипеда является параллелограмм $ABCD$, а боковое ребро равно $l = AA' = 20$ см. Стороны основания равны $a = 42$ см и $b = 34$ см. Одна из диагоналей основания равна $d_1 = 20$ см.

Найдем вторую диагональ основания $d_2$ из свойства параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$20^2 + d_2^2 = 2(42^2 + 34^2)$$400 + d_2^2 = 2(1764 + 1156)$$400 + d_2^2 = 2(2920)$$400 + d_2^2 = 5840$$d_2^2 = 5440$$d_2 = \sqrt{5440} = \sqrt{16 \cdot 340} = 4\sqrt{4 \cdot 85} = 8\sqrt{85}$ см.

Поскольку $8\sqrt{85} > 20$ (так как $(8\sqrt{85})^2 = 5440$, а $20^2 = 400$), большей диагональю основания является $d_2 = 8\sqrt{85}$ см.

Боковое ребро $l=20$ см наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ равна:$H = l \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь диагонального сечения, содержащего большую диагональ

По условию, это сечение перпендикулярно плоскости основания. Диагональное сечение является параллелограммом. Если плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания, то высота этого параллелограмма совпадает с высотой всего параллелепипеда $H$. Основанием этого сечения является большая диагональ $d_2$. Площадь первого диагонального сечения $S_1$ равна:$S_1 = d_2 \cdot H = 8\sqrt{85} \cdot 10\sqrt{2} = 80\sqrt{170}$ см².

Ответ: $80\sqrt{170}$ см².

Площадь диагонального сечения, содержащего меньшую диагональ

Это сечение является параллелограммом со сторонами, равными меньшей диагонали основания $d_1 = 20$ см и боковому ребру $l=20$ см. Следовательно, это сечение — ромб. Площадь этого сечения $S_2$ можно найти по формуле, связывающей площадь наклонного сечения с площадью его ортогональной проекции на плоскость основания: $S_2^2 = S_{proj}^2 + S_{vert}^2$. Здесь $S_{proj}$ — площадь проекции сечения на основание, а $S_{vert}$ — площадь проекции сечения на плоскость, перпендикулярную основанию.

Проекция бокового ребра $l$ на плоскость основания имеет длину $p = l \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см. Из условия следует, что эта проекция параллельна большей диагонали $d_2$. Проекция сечения на основание — это параллелограмм, построенный на векторах диагонали $d_1$ и проекции бокового ребра $p$. Его площадь $S_{proj}$ равна:$S_{proj} = d_1 \cdot p \cdot \sin(\phi)$, где $\phi$ — угол между диагоналями основания.

Найдем $\sin(\phi)$. Площадь основания $S_{base}$ можно найти, рассмотрев треугольник со сторонами $a=42, b=34$ и диагональю $d_1=20$. Его полупериметр $s = (42+34+20)/2 = 48$ см. По формуле Герона, площадь этого треугольника:$A_{\triangle} = \sqrt{48(48-42)(48-34)(48-20)} = \sqrt{48 \cdot 6 \cdot 14 \cdot 28} = \sqrt{112896} = 336$ см². Площадь всего основания $S_{base} = 2 \cdot A_{\triangle} = 672$ см². Также площадь основания равна $S_{base} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin(\phi)$.$672 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 8\sqrt{85} \cdot \sin(\phi)$$672 = 80\sqrt{85} \sin(\phi)$$\sin(\phi) = \frac{672}{80\sqrt{85}} = \frac{42}{5\sqrt{85}}$.

Теперь найдем площадь проекции:$S_{proj} = 20 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{42}{5\sqrt{85}} = \frac{1680\sqrt{2}}{\sqrt{85}}$.

Площадь $S_2$ можно найти по теореме о площади ортогональной проекции пространственного многоугольника. В нашем случае, площадь искомого сечения $S_2$ связана с площадью его проекции на основание ($S_{proj}$) и высотой $H$ соотношением: $S_2^2 = S_{proj}^2 + (d_1 \cdot H)^2$.$S_2^2 = \left(\frac{1680\sqrt{2}}{\sqrt{85}}\right)^2 + (20 \cdot 10\sqrt{2})^2$$S_2^2 = \frac{1680^2 \cdot 2}{85} + (200\sqrt{2})^2$$S_2^2 = \frac{2822400 \cdot 2}{85} + 80000$$S_2^2 = \frac{5644800}{85} + \frac{80000 \cdot 85}{85}$$S_2^2 = \frac{5644800 + 6800000}{85} = \frac{12444800}{85}$. Разделим числитель и знаменатель на 5:$S_2^2 = \frac{2488960}{17}$.$S_2 = \sqrt{\frac{2488960}{17}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 155560}{17}} = 4\sqrt{\frac{155560}{17}}$ см².

Ответ: $4\sqrt{\frac{155560}{17}}$ см².