Номер 946, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

946. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности (рис. 300). Найдите расстояние между точками их пересечения, учитывая, что катеты равны $m$ и $n$.

Рис. 300

Обозначим вершины прямоугольного треугольника как A, B, C, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть катеты равны $AC = m$ и $BC = n$. На этих катетах как на диаметрах построены две окружности.

Найдем точки пересечения этих окружностей. Одна из точек пересечения — это вершина C, так как она является концом обоих диаметров (AC и BC) и, следовательно, принадлежит обеим окружностям.

Пусть D — вторая точка пересечения окружностей. Поскольку точка D лежит на окружности с диаметром AC, то вписанный угол $\angle ADC$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ADC = 90^\circ$. Аналогично, поскольку точка D лежит на окружности с диаметром BC, то вписанный угол $\angle BDC$, опирающийся на диаметр, также является прямым: $\angle BDC = 90^\circ$.

Так как сумма углов $\angle ADC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, то точки A, D и B лежат на одной прямой. Это означает, что точка D лежит на гипотенузе AB. Следовательно, отрезок CD, соединяющий точки пересечения C и D, является высотой прямоугольного треугольника ABC, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Теперь найдем длину этой высоты CD. Сначала по теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AB:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$

Площадь прямоугольного треугольника ABC можно выразить двумя способами:
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2}mn$
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2}\sqrt{m^2 + n^2} \cdot CD$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2}mn = \frac{1}{2}\sqrt{m^2 + n^2} \cdot CD$

Отсюда находим длину CD:
$CD = \frac{mn}{\sqrt{m^2 + n^2}}$

Это и есть искомое расстояние между точками пересечения окружностей.

Ответ: $\frac{mn}{\sqrt{m^2 + n^2}}$