Номер 939, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

939. В треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$ вписана окружность, касательная к которой пересекает первые две стороны (рис. 297). Найдите периметр отсеченного ей треугольника.

Рис. 297

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. В него вписана окружность. Касательная к этой окружности, согласно рисунку, пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, отсекая от исходного треугольника малый треугольник $CMN$. Требуется найти периметр треугольника $CMN$.

Периметр отсеченного треугольника $CMN$ равен сумме длин его сторон: $P_{CMN} = CM + CN + MN$.

Пусть вписанная окружность касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, а отрезка $MN$ — в точке $T$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных равны. Для точек $M$ и $N$, которые лежат вне окружности, имеем:

• Отрезки касательных из точки $M$: $MT = MP$.
• Отрезки касательных из точки $N$: $NT = NQ$.

Длину стороны $MN$ можно представить как сумму $MT + NT$. Используя равенства выше, получаем: $MN = MP + NQ$.

Подставим это выражение в формулу периметра треугольника $CMN$:

$P_{CMN} = CM + CN + (MP + NQ)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{CMN} = (CM + MP) + (CN + NQ)$

Из рисунка видно, что $CM + MP$ — это длина отрезка $CP$, а $CN + NQ$ — это длина отрезка $CQ$. Таким образом:

$P_{CMN} = CP + CQ$

$CP$ и $CQ$ — это отрезки касательных, проведенных из вершины $C$ к вписанной окружности, поэтому их длины равны: $CP = CQ$. Длину этих отрезков можно выразить через стороны треугольника $a, b, c$. Длина отрезка касательной от вершины $C$ до точки касания равна полупериметру треугольника $ABC$ минус противолежащая сторона $c$:

$CP = CQ = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2}$

Тогда периметр отсеченного треугольника равен:

$P_{CMN} = CP + CQ = 2 \cdot CP = 2 \cdot \frac{a+b-c}{2} = a+b-c$

Ответ: $a+b-c$