Номер 934, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

934. В прямоугольном треугольнике один катет равен 35 см, а проекция другого на гипотенузу — 24 см. Найдите радиусы описанной и вписанной в этот треугольник окружностей.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Пусть $c_a$ и $c_b$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Согласно условию, один из катетов равен 35 см, а проекция другого на гипотенузу — 24 см. Пусть катет $a = 35$ см, тогда проекция катета $b$ равна $c_b = 24$ см.

Для нахождения радиусов окружностей сначала найдем все стороны треугольника. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: $a^2 = c \cdot c_a$ и $c = c_a + c_b$.

Из второго соотношения выразим $c_a = c - c_b = c - 24$. Подставим это в первое соотношение: $a^2 = c \cdot (c - 24)$

Подставим известное значение $a = 35$: $35^2 = c^2 - 24c$ $c^2 - 24c - 1225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1225) = 576 + 4900 = 5476$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 74$. $c = \frac{24 \pm 74}{2}$

Поскольку длина гипотенузы ($c$) должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс: $c = \frac{24 + 74}{2} = \frac{98}{2} = 49$ см.

Теперь найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $b^2 = c^2 - a^2 = 49^2 - 35^2 = (49-35)(49+35) = 14 \cdot 84 = 14 \cdot (14 \cdot 6) = 14^2 \cdot 6$ $b = \sqrt{14^2 \cdot 6} = 14\sqrt{6}$ см.

Итак, мы нашли все стороны треугольника: $a=35$ см, $b=14\sqrt{6}$ см, $c=49$ см. Теперь можем найти радиусы окружностей.

Радиус описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{49}{2} = 24,5$ см.

Ответ: 24,5 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим найденные длины сторон: $r = \frac{35 + 14\sqrt{6} - 49}{2} = \frac{14\sqrt{6} - 14}{2} = 7\sqrt{6} - 7 = 7(\sqrt{6} - 1)$ см.

Ответ: $7(\sqrt{6} - 1)$ см.